群準同型写像
郡準同型(group homomorphism)
定義
群$ G_1, G_2 、$ \phi : G_1 \to G_2 を写像とする。 (1)$ \phi(x \circ y) = \phi(x) \circ φ(y) がすべての$ x,y \in G_1 に対して成り立つとき、$ \phi を準同型(homomorphic)という。
$ \phi, φ : 写像
$ \phi(xy) : 積を取ってから写す
$ \phi(x)φ(y) : 写してから積を取る
$ \phi(xy) = \phi(x)φ(y) の意味について
$ x,y の積に写像を写したものと、写像を写してから積を取ったものが等しいことを表す
(2)$ \phi が準同型で、逆写像$ \phi^{^-1} : G_2 \to G_1 を持ち、$ \phi^{-1} も準同型であるとき、$ \phi は同型(isomorphic)であるという。このとき群$ G_1, G_2 は同型であるという。 $ G_1 \simeq G_2 と書く。読み方は$ G_1, G_2 は同型。
(3)$ \phi が準同型のとき、$ \mathrm{Ker}(\phi) = \lbrace x \in G_1 | \phi(x) = 1_{G_2} \rbrace を$ \phi を核(kernel)という。
$ 1_{G_1} : 群$ G_1 の単位元
(4)$ \phi が準同型のとき、$ \mathrm{Im}(\phi) = \lbrace \phi(x) | x \in G_1 \rbrace を$ \phi を像(image)という。 群準同型写像の性質
$ G,H を群とし,$ f :G→H を群の準同型写像とする。このとき,
(1)$ f(e_G)=e_H
(2)$ g∈G に対し,$ f(g^{−1})=f(g)^{−1}
(3)$ \mathrm{Ker}f=\{g∈G∣f(g)=e_H\}, \mathrm{Im}f=\{f(g)∈H∣g∈G\} はそれぞれ $ G,H の部分群である。特に,$ \mathrm{Ker}f⊂G は正規部分群である。 (4)$ f が単射 ⟺ $ \mathrm{Ker}f=\{e_G\} .
(5)$ f が同型なら,逆写像 $ f^{−1} も同型である。 (6)$ I が群,$ g :H→I も準同型ならば,その合成 $ g∘f :G→I も準同型である。
確認用
Q. 準同型
Q. 準同型の定義
Q. 写像
Q. 同型と準同型の違い
関連
参考
https://www.youtube.com/watch?v=yI7FZbUQ2BI&list=PLx3dFfRgOu4QEiSs9kdGUQ0KK-Bx8tJig&index=5
https://youtu.be/FzTr-468G0w