群準同型写像

郡準同型(group homomorphism)

群の写像で、準同型であるもの

定義

群$ G_1, G_2 、$ \phi : G_1 \to G_2 を写像とする。

(1)$ \phi(x \circ y) = \phi(x) \circ φ(y) がすべての$ x,y \in G_1 に対して成り立つとき、$ \phi を準同型(homomorphic)という。

$ \phi, φ : 写像

$ \phi(xy) : 積を取ってから写す

$ \phi(x)φ(y) : 写してから積を取る

$ \phi(xy) = \phi(x)φ(y) の意味について

$ x,y の積に写像を写したものと、写像を写してから積を取ったものが等しいことを表す

(2)$ \phi が準同型で、逆写像$ \phi^{^-1} : G_2 \to G_1 を持ち、$ \phi^{-1} も準同型であるとき、$ \phi は同型(isomorphic)であるという。このとき群$ G_1, G_2 は同型であるという。

$ G_1 \simeq G_2 と書く。読み方は$ G_1, G_2 は同型。

(3)$ \phi が準同型のとき、$ \mathrm{Ker}(\phi) = \lbrace x \in G_1 | \phi(x) = 1_{G_2} \rbrace を$ \phi を核(kernel)という。

$ 1_{G_1} : 群$ G_1 の単位元

(4)$ \phi が準同型のとき、$ \mathrm{Im}(\phi) = \lbrace \phi(x) | x \in G_1 \rbrace を$ \phi を像(image)という。

群準同型写像の性質

$ G,H を群とし，$ f ⁣:G→H を群の準同型写像とする。このとき，

(1)$ f(e_G)=e_H

単位元(identity element)

(2)$ g∈G に対し，$ f(g^{−1})=f(g)^{−1}

逆元$ g^{-1} を持つ

(3)$ \mathrm{Ker}⁡f=\{g∈G∣f(g)=e_H\}, \mathrm{Im}⁡f=\{f(g)∈H∣g∈G\} はそれぞれ $ G,H の部分群である。特に，$ \mathrm{Ker}⁡f⊂G は正規部分群である。

(4)$ f が単射 ⟺ $ \mathrm{Ker}⁡f=\{e_G\} .

(5)$ f が同型なら，逆写像 $ f^{−1} も同型である。

(6)$ I が群，$ g ⁣:H→I も準同型ならば，その合成 $ g∘f ⁣:G→I も準同型である。

確認用

Q. 準同型

Q. 準同型の定義

Q. 写像

Q. 同型と準同型の違い