群準同型
郡準同型(group homomorphism)
$ G, H を群、写像$ f : G \to H $ f(ab) = f(a)f(b)
元$ a,b は$ a, b \in G
群準同型の性質
$ G,H を群とし,$ f :G→H を群の準同型写像とする。このとき,
(1)$ f(e_G)=e_H
(2)$ g∈G に対し,$ f(g^{−1})=f(g)^{−1}
(3)$ \mathrm{Ker}f=\{g∈G∣f(g)=e_H\}, \mathrm{Im}f=\{f(g)∈H∣g∈G\} はそれぞれ $ G,H の部分群である。特に,$ \mathrm{Ker}f⊂G は正規部分群である。 (4)$ f が単射 ⟺ $ \mathrm{Ker}f=\{e_G\} .
(5)$ f が同型なら,逆写像 $ f^{−1} も同型である。 (6)$ I が群,$ g :H→I も準同型ならば,その合成 $ g∘f :G→I も準同型である。
関連
参考