圈論に於ける同型や同値
對象$ a,bが同型である$ a\cong bとは、射$ f:a\to bと射$ g:b\to aが在り、$ f;g={\rm id}_a且つ$ g;f={\rm id}_bを滿たす事を言ふ。$ gを$ f^{-1}と書く、又は$ fを$ g^{-1}と書く。$ f,$ gを同型射 (isomorphism) と呼ぶ。 代數構造を保つ寫像
臺集合だけでは準同型は定まらない。代數構造が定まると準同型が定まる$ \iff準同型が定まると代數構造が定まる 逆寫像が在りそれも準同型であれば、同型であると言ふ 述語 (predicate)$ Pを滿たす對象が同型を除いて一意とは、$ \forall x,y_{\in\{x|P(x)\}}(x\cong y)である事を言ふ
等式ではない
自然變換$ \eta:F\Rarr Gが自然同型である、卽ち二つの函手$ F,Gが自然同型であるとは、$ \etaを構成する射 (成分 (component)) が全て同型射である事を言ふ 圈同型 (isomorphism of categories)$ {\bf C}\cong{\bf D} 圈$ \bf C,$ \bf Dが圈同型である$ {\bf C}\cong{\bf D}とは、函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D},$ G:{\bf C}\to{\bf D}が在り$ F;G={\rm Id}_{\bf D},$ G;F={\rm Id}_{\bf C}を滿たす事を言ふ 圈同値 (equivalence of categories)$ {\bf C}\simeq{\bf D} 圈$ \bf C,$ \bf Dと函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D},$ G:{\bf C}\to{\bf D}が圈同値である$ {\bf C}\simeq{\bf D}とは、恆等函手への自然同型$ \eta:{\rm Id}_{\bf D}\Rarr F;G,$ \epsilon:G;F\Rarr{\rm Id}_{\bf C}が在る事を言ふ 圈同値$ {\bf C}\simeq{\bf D}が在る時 圈同値の持つ自然變換$ \eta,\epsilonが恆等自然變換であれば$ F;G={\rm Id}_{\bf D},$ G;F={\rm Id}_{\bf C}これらは圈同型 弱同値