忘却関手Grp→Setは表現可能

以下2つは自然同型

忘却関手$ \mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}

Hom関手$ \mathrm{Grp}(\mathbb{Z},-)

故に、忘却関手$ \mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}は表現可能

名付けと雑な図

忘却関手$ U:\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}

https://gyazo.com/b5eb74e1512b09180594bfde207fa2ff

Hom関手$ \mathrm{Grp}(\mathbb{Z},-):\mathrm{Grp}\to\mathrm{Set}

https://gyazo.com/1a11f0dc99fc6cd54df2a463ce138da2

準備

$ \mathrm{Grp}(\mathbb{Z},-)の$ \mathbb{Z}は、加法群$ (\mathbb{Z},+)のことだが、

これは$ aを生成元とする無限巡回群$ \mathbb{Z}=\lang a\rangとも見れる

$ \mathbb{Z}から$ Gへの準同型写像を考えるときに無限巡回群<a>から群Gへの準同型に注意しておく

証明

自然変換$ \alpha:\mathrm{Grp}(\mathbb{Z},G)\to\mathrm{Set}を

準同型写像$ \varphi:\mathbb{Z}\to Gを用いて

$ \alpha_G:\varphi\mapsto \varphi(a)で定義する

目的

$ \alpha_Gが同型(自然同型)であることを言えばいい

そのためには以下の2つを示せばいい

この図の右側の図が可換である

https://gyazo.com/a71e3d1f659f36dedc8db6e7b1f06adf

逆射$ \alpha_G^{-1}が存在する

上の図が可換であることを確認する

緑向きの元の対応は、$ (Uf)(\varphi(a))=f(\varphi(a))

∵忘却関手の定義

紫向きの元の対応は、$ (f\circ\varphi)(a)

∵$ \alpha_{G'}の定義

よって、両方とも$ \varphi,fの合成を$ aに適用したものなので同じ

よって、$ \varphiから出発した2経路は同じ点に終着するためこれは可換

また逆射$ \alpha^{-1}_G:U(G)\to\mathrm{Grp}(\mathbb{Z},G),\;x\mapsto(a^n\mapsto x^n)が存在する

従って、$ Uは表現可能

参考