内積
面積の反対みたいなものかなと思ったけど、
それが長さで、長さは１次元の量の気がするけど、二次元から来た１次元の量で、
内積は、どっちかのベクトルの長さと、もう一個のベクトルの正射影のベクトルの長さ、 この２つを掛けたもの。 $ {a}\cdot{b} = |v||a|
$ vは、正射影ベクトル
3次元以上になれば、n次元が1次元の量で、
２つのベクトルがどれだけ(どの長さだけ)反り？が合うか
２つのベクトルの大きさとその角度の積でよい？ 逆で、内積の定義から大きさを定義できる（角度が単位1の場合) $ <x, y>演算規則
内積を関数に拡張してフーリエ級数展開を説明する
「関数にも内積的なものがあれば」というのは，関数2つに対してある値を定める方法で，これら3条件を満たすようなものがあればいいということである
何か線型空間Xで定義された実数値あるいは複素数値の2変数関数⟨x,y⟩であって，以下の条件を満たす
２変数関数であって、で少しイメージが補強された。
ベクトルの内積は当然これを満たす．
２つのベクトルを、２変数関数とすると。三角関数 同士の内積あたりから脱落 関数の内積 <f, g> を $ \int_0^{2\pi}{f(x)\overline{g(x)}dx} とする。
参考:
内積とは，そのように重要な演算規則なのでありました．
逆数から考える。
$ \int_0^{2\pi}{sin(x)cos(x)dx} = 0
https://gyazo.com/7894056a91998ffab8325414c807da8b
大きさ(norm)を内積から
ベクトルで自分自身との内積は、二次のノルムと同じになる、ようにする。内積からノルムの定義。
内積の値は、どちらかへの列ベクトルに射影した長さと射影されたベクトルの長さの積 これは幾何的なイメージ。 代数的？には、その次元同士での積和(座標を入れて？計算できる)
数式をみて、内積演算と把握する
どこで読んだかわすれたけど、
$ W^TXは内積. T(転置)が内に来てる時には内積。 $ WX^Tと外に来た時には行列。
W, Xは列ベクトルを想定。スカラーになるか、行列になるかと大きな違い。
サイズ（ベクトルなら次元、行列ならサイズ？最終的にはランクを見据える?)
距離との関連
暗黒通信団の距離の本から抜き出し
内積を距離に使いたいが....
これも距離概念の１つになりうるが、マイナスなったり、近さの指標になってるので、使いづらい。で、距離にある出力をする関数を、改めて、カーネルとして作る。 一般的な形で記述。カーネル関数は汎関数。
ユークリッド内積、多項式カーネル、ガウスカーネル
写像先での内積計算をする場合に、写像変換の計算を迂回できる。元の空間上のデータで、カーネル関数の結果が、写像先の内積計算になる。。
新しい物理量を作り出す
物理学で「仕事」の概念を表現するために生まれました。 力（ベクトルF）が物体（速度ベクトルV）に働いたとき、「FがV方向にどれほど作用しているか」という概念を数式で表現する必要が生まれました。
そこで、FのV方向成分と、Vの大きさとを掛け合わせたものを、FとVの内積と呼ぶことにしたのです。なお、FとVの内積は「仕事率」と呼ばれ、それを時刻tで積分したものが「仕事」になります。
２番の質問の続きになりますが、仕事（と運動エネルギー）の概念は運動方程式から導かれるものです。運動方程式はベクトルを用いて書かれています。
物体の位置を統一的に表現するために、ベクトルという概念が生まれ、運動方程式が生まれ、そして内積が生まれる、といった順序です
参考
交換が成立する
https://gyazo.com/e37e64339172c8cb1b3f8c6163ee45ef