東大1S1数理科学基礎:微分積分
試験のみでの評価らしい、出席は特に取らないらしい
試験
イプシロンデルタの話とかはほとんどでない
メインが計算問題
-.icon
Chapter 11.
$ \frac{\partial f}{\partial x}を、$ f_xと書くこともあるらしい
え、ダッシュとかつけないんだblu3mo.icon
紛らわしいですよねtakker.icon
$ f_{xx},f_{xy},f_{yx},f_{yy}
まあそうね、という気持ちblu3mo.icon
勾配ベクトルは、$ (f_x(x,y), f_y(x,y))^Tという感じ これは、つまり接平面で一番急勾配な方向を表す
まあそうね、これを使うのが勾配降下法なわけでblu3mo.icon $ f_x=f_y=0の点
つまり全微分しても0
Chapter 10.
f(x,y)みたいなやつ
$ ℝ^2\to ℝの写像とも言える
こういう関数ならこう言う3Dグラフ形状、というパターンが色々
$ f(x,y)=ax+by+cは平面
これは、平面をベクトルで定義したやつ（高校）でいける
https://kakeru.app/32a0235a33ac707414d08fa9243016cf https://i.kakeru.app/32a0235a33ac707414d08fa9243016cf.svg
$ f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})は回転面
回転面は壺みたいなイメージ、何かのグラフを回転して作れる立体
gには原点から(x,y)への距離が突っ込まれている
からので、原点から同じ距離の座標なら同じ出力
$ f(x,y)=g(x)は、柱面
これはまあ想像しやすいな
https://gyazo.com/9d436857ee2d8ccca7e04155f4a9357b
まあそりゃそうって感じの形状blu3mo.icon
TODO: これは三角関数と双曲線関数に対応していそうだけど、何がどう対応している?blu3mo.icon ヒント書こうと思ったけど、もろ答えになるからやめておくtakker.icon
$ f(x,y)=px^2+qxy+ry^2を考える
これを平方完成すると、$ k(x+y)^2+ly^2みたいな形になる
ここで、$ X=x+y, Y=yの新しい座標系を考えれば、$ kX^2+lY^2という形式でまとめられる
なるほど〜blu3mo.icon
線形代数を学ぶともっと複雑な式も↑の形式にまとめられると言っていた
座標系を変えてるので歪んだ形ではあるけど
グラフの形状把握の方法（微分を使わない時）
x,y軸に垂直な平面でグラフの断面を切り取る
$ x = x_0 + t \cos θ_0, y = y_0 + t\sin θ_0, z = f(x_0 + t \cos θ_0, y_0 + t\sin θ_0)の曲線が断面として得られる
zが定数の時のxとyの関係を得れば良い
グラフの正負を得て描く
Chapter 6.
Chapter 5.
高校までの範囲
（厳密には関数が全単射になるように定義しないと逆関数にはならない）
単調にもいろいろあるんだなtakker.icon
$ \forall x\in A\forall a<x;f(a)<f(x)くらいしか知らない(これは狭義単調増加の場合)
その不等号が等号を含むと問題が起きるnishio.icon
https://gyazo.com/2f2b5c75ef88acf77ccc22b0d7d03ade
右だとf(a)とf(b)がイコールだから逆写像を作る時にaにしたらいいのかbにしたらいいのかわからなくなる
なんだ。等号の有無だけだった
もちろん大事な違い
なるほどblu3mo.icon
この言い方の方が好きnishio.iconerniogi.icontakker.icon
「狭義」って相対的な表現だし、名前だけ見ても意味がわからない
てっきり一様連続みたくいろんな種類があるのかと思った
実数の場合は定義域が決まっているから大丈夫takker.icon
$ \exp:\R\to\R_+
$ \ln:\R_+\to\R
補足：$ \R_+:=\{x\in\R|x>0\}
これなら定義域の範囲で狭義単調関数、という事かblu3mo.icon 複素数に拡張するとアウト
なつかしいtakker.icon
三角関数 <-> 逆三角関数(arcsinとか)
こっちも同様の理由で定義域を制限する
なのでarcsinとかは定義域限られる、という話
これはIBで既習blu3mo.icon
https://gyazo.com/15c7c70eb4a8b64957e0f02395300d44
微分の計算も、公式は導出できる
y=arcsinxの時にsiny=xなので、dx/dyを求めてからひっくり返していじくり回す
Lec 4.
中間値の定理
https://kakeru.app/a8629b5ecfec20df8056a897032c00ce https://i.kakeru.app/a8629b5ecfec20df8056a897032c00ce.svg
$ \exists c \; \frac{f(b) − f(a)}{(b − a)} = f'(c), a < c < b
aからbへの線の一次関数を考えたときに、それと一致する$ f'(c)の値（cにおける傾き）を傾きとする一次関数がある、と言っている
これは分数にしないほうが便利takker.icon
$ f(b)=f'(c)(b-a)+f(a)\quad\text{.for}\exist c\in (a,b)
そしてこの形にすることで……？
単調増加とかの話は後で自習blu3mo.icon*2❓ 定理4: f(x)の逆関数g(y)があるとき、$ g'(y)=\frac{1}{f'(g(y))}と導関数が得られる
これはそれなりに非自明かつ便利だなblu3mo.icon
条件: $ f(x)が開区間Iで単調増加かつ微分可能、かつ$ f'(x)≠0
なぜこの条件が必要なのか理解したい❓
/icons/応援.icontakker.icon
自習するblu3mo.icon❓
感想
最近、結構自明な定理を色々習っているが、これらをどこまで理解すべき?blu3mo.icon
定理の条件を知っていれば良いのか、証明を一度理解すれば良いのか、いつでも証明を思い出せるべきなのか、0から証明できる能力を持つべきなのか
takker.icon
定理の条件を知っていれば良いのか
試験直前に詰め込む系のことをするなら必要
それ以外は正直必要ない
定理の条件があやふやになってしまっても、その場で証明書いたり、文字定数の具体化をしてあっているか確かめればいいだけ もちろん試験中に全ての定理に対してこれをやると時間がなくなるので、事前の問題演習で、忘れるたびにその場で証明書くのを繰り返す感じだろうか
忘れるたびに何度も書けば、結果的に覚えることになる
まあまずはここまでほしい
証明を一度理解すれば良いのか
これがあると暗記に頼ることがなくなる
いつでも証明を思い出せるべきなのか
簡単な例だと三角関数の諸定理がそう
$ (\sin\theta)^2=?と忘れてしまっても、どう展開するのかさえ知っていれば、その場で復元できる
さらに証明に使った手法を応用していろんな問題を解くことがよくある
0から証明できる能力を持つべきなのか
「0から」の意味がちょっと不明瞭かなtakker.icon
「証明の方針を忘れてしまっても証明できる」というのなら、それはすでに証明に対する理解を失っている
より正確に書くと、証明を知る過程で、これらの証明を自分で0から見つけ出せる普遍的数学スキル(?)を身につけるべきなのかという意図だったblu3mo.icon
でもそれは流石に求められていない気がするblu3mo.icon
あっそれは天才か狂人か神にしかできないので大丈夫ですtakker.icon
ただ、証明をいじったり別ルートからのアプローチを考えたりするのは(余裕があれば)取り組むとよさそう
これである程度は0から手法を見つけ出せる
Lec 3.
Lec 2.
Lec 1.
変数についての主張
どの値についても成立するとか、ある値について成立するとか
タイプ:
$ \forall x \; Q(x)
$ \exists x \; Q(x)
名前は分かりやすいなblu3mo.icon
命題の否定
$ \forall x Q(x)の否定は、$ \exists x \lnot Q(x)
$ \exists x Q(x)の否定は、$ \forall x \lnot Q(x)
原理は同じですtakker.icon
なるほどblu3mo.icon*2
具体例
部分集合は、ちゃんと定義するなら$ x \in X \implies y \in Y あ〜、たしかにblu3mo.icon*2
集合の言語が論理式に変換されているblu3mo.icon*2 数学ガールで見た時は理解できなかったけど、今改めて見たら腑に落ちた
$ P \implies Qが、$ \lnot P \lor Qというやつ
Qが真の時 or Pが偽の時に「PならばQ」は真、わかる
ならば なら $ \forall x_1 \forall x_2 \;\; x_1 \ne x_2 \implies f(x_1) \ne f(x_2)
論理式 なら$ \forall x_1 \forall x_2 \;\; x_1 = x_2 \lor f(x_1) \ne f(x_2)
ならばだとx1≠x2だったのがx1=x2になっているのが大事blu3mo.icon*2
なるほど〜、これは慣れるのに時間かかりそう
「ならば」は論理記号とは別のものとして扱っている？takker.icon
論理学だとならば$ \impliesは$ \landや$ \lorと同じく論理記号のひとつなので、この対比に違和感があった
あー、確かにblu3mo.icon
and,or,notだけで表現することを指して論理記号って言ってました
$ \forall a, bと$ \forall a \forall bは同じ意味
いちいち$ \forall書くのめんどいですからねtakker.icon
あ～そっちかーtakker.icon
それも大事ですね
自明ですが$ \forall a,b; P(a,b)\iff \forall a\forall b;P(a,b)を手計算で証明してみるとよさそう
数学は疑問に思ったことを自力で試せて理解できるのが最高takker.icon*2
この辺すぐ実行して結果を見れるprogrammingと共通している
forallとexistsが混ざる場合はチェーンできない？
$ \forall a,b\in\Z\exists! q,r\ge0;a=qb+r\land0\le r<bみたいなことはできますtakker.icon
順番を逆にすることはできないblu3mo.icon
そこは実際に試してみるとよさそうtakker.icon
$ \forall a\exists b; P(a,b)\iff\exists a\forall; b P(a,b)は成立するか？とか
$ \forallもしくは$ \existsのどちらかが連鎖している場合は順序を変えても問題ないが、$ \forallと$ \existsの並び替えはできない、という感じかblu3mo.icon
$ \forall a \forall b \exists c \exists dを$ \forall b \forall a \exists d \exists cには出来る
が、$ \forall a \forall b \exists c \exists dを$ \forall a \exists c \forall b \exists dはできない
更に発展させると、$ \forall a\exists b; P(a,b)\impliedby\exists a\forall; b P(a,b)なら成り立つのか？みたいな疑問・問題も作れるtakker.icon
こんな風にいろんなvariationを作って深掘りできるそして時間を溶かす
bが集合Aの上界とは、
$ \forall x \in A \; x ≦ b、日本語なら 全てのAの要素よりbの方が大きい
定義で<ではなく≦なのが大事blu3mo.icon
要は[].max(), [].min()
$ [0, 1) には最大元は存在しない
なぜなら1はこの集合の元ではないので
$ \lim_{x\to1}xが最大元とは言えないの？と思ったblu3mo.icon
値とは別の「極限」という概念
なので最大元とは言えない、という感じかな
極限は関係ありませんtakker.icon
単に最大元の定義にあわないだけです
$ a\text{は}A\text{の最大元}:\iff a\in A\land\forall x\in A;x\le a
最大元とは違う定義
上界の要素の集合の中の最小元
ここで、1は$ [0, 1] の上界なのが大事
上界bは 任意の要素aに対してa≦bと定義されている、a<bではないのが大事
$ [0, 1) の最大元は1ではないが、上限は1
というかこういう時のために定義した上限
集合Aの上限は$ \sup A、下限は$ \inf A
この辺りは資料見た方がちゃんと定義書いてあるのでわかりやすいな
まあ要は、[0, 1)みたいな集合で一番上が1じゃんと言うための道具
1自体は集合に含まれていないので、最大元が1とは言えない
実数は連続性を持つ
これを正確に表現する方法として、
実数集合の部分集合は、上に有界ならば上限を持つ
連続性を持たなかったらなら、上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在しない、と
それなら上に有界ではないのでは
いや、違うかblu3mo.icon
これだと対偶がちゃんと取れていない
でも、「上に有界な部分集合がある時に、部分集合の上界に最小元が存在する」のはやっぱり当然では
違うか、上界に元があっても最小元が存在するとは限らないのか
Ex: (0, ∞]に元はあっても最小元はない
エッジケースだと$ \varnothingがそうtakker.icon
確かにblu3mo.icon
これが成り立つことが実数であることそのものなので、任意の半順序集合では成立しませんtakker.icon $ [0,\sqrt2]\cap\Bbb{Q} の上界は$ \{x\in\Bbb{Q}|\forall y\in [0,\sqrt2]\cap\Bbb{Q};y\le x\} ($ =[\sqrt2,\infin)\cap\Bbb{Q} )だが、$ [\sqrt2,\infin)\cap\Bbb{Q}に最小元は存在しない
局所的な最大/最小
二階微分で定義されるイメージだったけど、$ |x − x_0 | < δ ならば f(x) ≤ f(x_0) となるの方が確かに良い定義だな
平べったい部分は局所的に最大かつ最小になる（≤で定義されてるので）
https://gyazo.com/7651585225d8bf0ab4615fa578f9efe6
理解blu3mo.icon
局所的に最大の定義を少しいじれば極大になるのねblu3mo.icon