双曲線関数
sinh, cosh, tanh
逆数関数もsech, csch, cothとかいう
$ \sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}{2}, $ \cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}{2}
$ \tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}として、$ \tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}
なんか見覚えがある気がするblu3mo.icon
xのところにiを混ぜると円の三角関数になるとか？nishio.icon
そういうことですtakker.icon
$ iが回転を司っている
だから双曲線関数に$ iを入れると回転し、三角関数から$ iを抜くと回転しなくなる
なるほどblu3mo.icon
ただ、これは知らなかったので既視感の正体は違う気がする
ただの気のせい?
数IIIの二次曲線でもしかした見覚えあるかも？takker.icon
あとは分数関数の積分でも出てくるかもしれない
これな気がするblu3mo.icon
指数表記された三角関数を微積分してみる？nishio.icon
$ \frac{a+b}{2},\frac{a-b}{2}系は面白いtakker.icon
なんだこれ、なぜ三角関数っぽく書く?blu3mo.icon
対称性/関係がまだ見えないblu3mo.icon
性質がにている
$ \cos^2x + \sin^2x=1 / $ \cosh^2x - \sinh^2x=1
逆やん
ピッタリ逆ってのはある意味すごく似てるのではnishio.icon
他の公式も全部符号が逆なら似ていると感じるが、そうでもなさそうblu3mo.icon
逆なのは円関数(三角関数のこと)と双曲線関数の定義を比較するととても、それはそれはとてもとてもよくわかりますtakker.icon
性質より根本の定義を確認するとしっくりくる予感はしているblu3mo.icon
形はそこまで似ていない?
近似しているとかでは無いのね
円の$ x^2+y^2=1の代わりに、双曲線$ x^2-y^2=1で定義している? 面白いぞ～この辺りはtakker.icon
発展する話題を投げておこう
$ \mathrm{Re}(z):=\frac{z+z^*}{2}、$ \mathrm{Im}(z):=\frac{z-z^*}{2i}の演算法則
$ \frac{x+x^{-1}}{2}、$ \frac{x-x^{-1}}{2}の演算法則
三角関数のもろもろの性質の、どれが$ eの効果でどれが$ iの効果なのか、どれが$ \frac{a\pm b}{2}の効果なのかがよく分かる
三角関数と双曲線関数は複素数に広げるとつながる
三角関数と双曲線関数の関係は，テイラー展開によって得られた巾級数を複素数の範囲で考察することによって，より明瞭に理解される。
詳しくは後でと言われた
え〜〜blu3mo.icon
周辺は以前調べたから自習できそう
なるほど!!!blu3mo.icon
$ \cosh z=\frac{e^{z}+e^{-z}}{2} $ \sinh z=\frac{e^{z}-e^{-z}}{2}
cosはixをzで置き換えてるのね
三次元のcoshグラフを、虚数軸に並行/実数軸に垂直な面で切り取ればcos(x)グラフが得られる?
そうみたいblu3mo.icon
https://www.researchgate.net/profile/Bryant-Wyatt/publication/325168316/figure/fig1/AS:626761154953216@1526442912167/3D-graph-of-cosh-i-i-i-i-The-graph-of-cos-i-ii-i-is-produced-in-the-i-ii.png
全部のcosh(z)に対して実数が返ってくるわけでは無いのかblu3mo.icon
cosh(z)の値を全部描くなら四次元プロットが必要
双曲線関数の気持ちは理解できた気がするblu3mo.iconblu3mo.icon*2
これを元に双曲線関数の法則を三角関数ベースで書けば分かりそう
双曲線関数と三角関数の法則を両方expで書き出すともっと良い?