東大1S2微分積分
第 1 回 ロルの定理，平均値の定理，ロピタルの定理
第 2 回 テイラーの定理，テイラー級数，具体例
第 3 回 テイラー展開の応用
第 4 回 2 変数関数の極限，連続，偏微分
第 5 回 全微分，合成関数の微分
第 6 回 高階偏微分，偏微分の順序交換
第 7 回 パラメータ表示された曲線，陰関数定理
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第 1 回 ロルの定理，平均値の定理，ロピタルの定理
ロピタルの定理の証明がゴール
ロピタルって何かと思ったけらL' Hopitalだった
証明
命題1: maximum/minimumでf'(x)=0
これはまあそう（微分の定義から導出できる）
ロルの定理: 連続で微分可能な所で、f(a)=f(b)ならaとbの間にf'(x)=0なxの値がある
これもまあそう
証明: 範囲内に最大値/最小値があって（最大値の定理）、それらはf'(x)=0（命題1）、みたいな感じ
もう少し細かいケースも考えないとだけど
平均値の定理: 連続で微分可能な所で、$ \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}の傾きと同じ傾きを持つ点がaとbの間にある 証明:
$ f(x)をちょっと歪ませて、$ \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}=0となる形に変形する
すると、ロルの定理と同義になるので証明完了
なるほど〜、スマートblu3mo.icon
一般化した平均値の定理: 連続で微分可能な所で、$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}の傾きが、$ \frac{f'(x)}{g'(x)}と一致するxがaとbの間にある 対称性は理解したけど図形的イメージは掴めんblu3mo.icon
平均値の定理をgとfで書いて、fの式をgの式で割ればこれが生まれるか
ロピタルの定理（ゴール）: 一般化した平均値の定理を、a → bのケースで考えればロピタルの定理が出てくる
追記、第二回の内容を考えればテイラー展開を一次でやって欲しいところの値を得るのがロピタルの定理か
欲しい値のxのところを中心にテイラー展開をするので、近似は一次で甘くて良いblu3mo.icon*2
第2回
$ \frac{f(b)-f(a)}{(b-a)}=f'(c)
これを変形すると、
$ f(b)=f(a)+f'(c)(b-a)
これを一般化して、
https://gyazo.com/3b7e499b765bdbc4ad856e7e8e7da51a
平均値の定理でc（決まっていない値）だったのは、ほぼ全ての項でa（一番左）とされている
平均値の定理で言うところのcの位置が、aからbの間のどこかであると言っている
その結果、R_n+1はこの範囲にあるよ〜と言っている
https://gyazo.com/e2cddb14f0d100b4d9b7e1493574cf6f
関数が$ C^∞級である
つまり無限回微分できる
この二つの前提大事blu3mo.icon
マクローリン展開の応用みたいな感じで、既知の展開を含む形に変形したりする話
それらはhttps://gyazo.com/f60adbec1c01277757ec07af5f0ab63bが成り立つという前提になっているけど、これは常に成り立つわけではないことに注意
第 4 回 2 変数関数の極限，連続，偏微分
距離の定義 -> 極限の定義 -> 連続の定義 -> 偏微分の定義
左から右に依存しているので、順番に定義していく感じ
意外と変わらなかったりしてtakker.icon
euclid距離固有の性質ではなく、距離空間の性質だけを使って偏微分まで定義できるのなら、任意の距離空間で微分の形が不変になる
試してみると面白そう
頻繁に色々な値についての三角不等式が登場するなblu3mo.icon
なんか普遍性高そうなんだけど、いまいちまだそれが掴めていない
極限をとる方法が多変数関数の場合は無数にある．
これが大事blu3mo.icon*2
全ての方向から取った極限が同じ場合のみ、極限値があるとする（本授業では）
これは一般に通用すると思うtakker.icon
この性質のせいで問題が生まれていて、「微分可能でも連続とは限らない」