@hoshihara
ざっくりいうと、(前提条件の組み合わせによるが)どちらを定義にしてもいいtakker.icon
(正規直交座標での)成分同士の積の和の定義から、cosを使った表現を導けるし
cosを使った定義から、内積が成分同士の積の和になることも導ける
どちらの論理式も「同値」だから、どっちを定義に採用してもいい これを踏まえると、論理式や命題の定義で$ \overset{\bf{def}}{\iff}という記号を使うことに納得がいくと思う
どちらも同じだから同値関係と呼んでいる
同様に項の定義は$ \overset{\bf{def}}{=}を使う
同値であることが大事
$ x:=3はできるが$ x:>3はできない ($ >では一意に対象を絞れない)
(繰り返しますがあくまでざっくりと重要なとこだけ説明しています)
あざます。どちらで定義してももう片方を導出できるので、結局同じことを記述していると理解hoshihara.icon
命題・述語の定義に$ \overset{\bf{def}}{\iff}、それ以外(項という)の定義に$ \overset{\bf{def}}{=}を使うイメージ 例：
$ P\veebar Q\overset{\bf{def}}{\iff}(P\land\lnot Q)\lor(\lnot P\land Q)
$ A\Delta B\overset{\bf{def}}{=}\{x\in A\cup B\mid x\in A\veebar x\in B\}
このあたりは証明論の話になってきて、だいぶ込み入っています 自分も理解しているわけではないですが、
$ A\leftrightarrow Bを$ A\land Bや$ A\lor Bと同様の論理演算子として使う一方、 $ A\iff Bは「$ A\leftrightarrow Bの証明が存在する」もしくは「$ A\leftrightarrow Bは恒真である」という意味で使う
ことが多いように思います
ちなみに「恒真命題をすべて証明可能できる論理体系」を「完全な論理体系」(完全性定理)、「証明可能な定理がすべて恒真命題である論理体系」を「健全な論理体系」(健全性定理)といいます ほうhoshihara.icon
実際には著者の定義に左右されるので、どういう定義を使っているのか文献ごとに確認するのが妥当です
教科書やレジュメの該当箇所を読み返しました。$ \equivは論理同値を表す記号で論理演算子ではなく、$ p\equiv qは命題ではないと書いてありましたhoshihara.icon
命題ではないについてはあまり理解できてないな。論理演算子と異なることは理解した
同じく理解できてないtakker.icon
$ \equivは合同 (数論)の記号としても使われるので混同注意takker.icon ≡に私が疑問に思ったような記号の使い分けの話題も書いてあったhoshihara.icon 定義の話も書いてあった。忘れてたtakker.icon
cosenseでは/sno2wmanさんのとこが詳しいから、追々参考にするとよいかもtakker.icon 有益情報だhoshihara.icon
疑問に思うことがすべて書いてある
ここでは並列というより、可読性のために挿入した区切り記号ですね
なので$ \exist c>0\forall p\in\Z,\forall q \in \Z \setminus\{0\}, \left ( \frac{p}{q}\neq \alpha \rightarrow \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | \geq \frac{c}{|q|}\right )は$ \exist c>0\forall p\in\Z\forall q \in \Z \setminus\{0\}\left ( \frac{p}{q}\neq \alpha \rightarrow \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | \geq \frac{c}{|q|}\right )と書いても同じです
なお、数学記号によくあることですが、利用箇所が変わると定義が変わるので注意です
例えば$ x=1,2,3は$ x=1\lor x=2\lor x=3と同じ
$ \forall p,q\in\Z,P(p,q)は$ \forall p\in\Z\forall q\in\Z,P(p,q)と同じ
これは書く手間が減ってべんりだhoshihara.icon
さらにちなみに$ \forall a\in A,P(a)は$ \forall a,(a\in A\rightarrow P(a))の略記なので、$ \alpha\in \mathbb{Q}\rightarrow \exists c>0\forall p\in\Z\forall q\in\Z\setminus\{0\},\varphi(p,q)は
$ \forall\alpha\in\Bbb{Q}\exist c>0\forall p\in\Z\forall q\in\Z\setminus\{0\},\varphi(p,q)
これはよくわかってない！理解に努めるhoshihara.icon
forallが増えて->が消えたのか
略されてたforallを明記して、forallと->の略記法を使った感じtakker.icon
元ページには$ \alpha\in \mathbb{Q}\rightarrow \exists c>0\forall p\in\Z\forall q\in\Z\setminus\{0\},\varphi(p,q)とありましたが、これは$ \forall\alpha,(\alpha\in \mathbb{Q}\rightarrow \exists c>0\forall p\in\Z\forall q\in\Z\setminus\{0\},\varphi(p,q))と同じですtakker.icon
このように、$ \forallをつけないことが数学ではよくある
確かに元の命題だと$ \alphaを有理数とする。としか書いていないhoshihara.icon
「有理数ならなんでもいい」、つまり「すべての有理数に対して成り立つ」という意味なんですよねtakker.icon
それ以外の意味にとりようがないともいう
たとえば、因数分解/展開の$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2はどの$ a,bでも成り立つので$ \forall a,b\in\R,((a+b)^2=a^2+2ab+b^2)です
「すべて」とか「任意」という文句がいつも$ \forallになるわけでもないことにも留意
$ \sin\theta=0の解は「$ \theta=n\pi,nは任意の整数」と書かれることがあるが、記号論理で書くと
$ \forall\theta\in\R,(\sin\theta=0\leftrightarrow\exist n\in\Z,(\theta=n\pi))
ここで記号論理に書き起こすとき、$ \thetaの範囲を決める必要性が機械的に現れた
これによって「そうか、$ \thetaの範囲指定が必要だ。どこまでなら成り立つんだっけ？」と気づかなかった点に気を配れるようになる
尤も、ざっくり議論したいときにも細かいことが気になってしまうという欠点もある
になる
これは式の意味から$ \existがかかると考えることもできるし、$ \forallだと明らかに矛盾するから$ \exist以外あり得ないと考えることもできる
日本語と記号論理とは乖離があるので、そこを変換するのにまあまあ苦労するかもtakker.icon
逆にいうと、自然言語で数学するとそのあたりを曖昧にしたままになってしまう恐れがあり、それを記号論理で書き換えることで、今まで気づいてなかった曖昧さに気付けるという利点があります
そういえば二項関係の反射的の定義、教科書に$ a\in A \implies (a, a)\in Rみたいな感じで書かれており、は？となった記憶があったなhoshihara.iconforallとかexistを散々やったのにどっちもないの？という
もちろんこの場合forallだろうが、いつも明示するわけではないのだな
気持ちわかる。マジ明示してほしいtakker.icon
こういうのをノートにとるとき、略されてる量化子($ \forall,\exist)を補ってみると、いい訓練になると思いますtakker.icon
💪hoshihara.icon
とも書けます
なお$ \exist\alpha\in A,P(a)は$ \exist\alpha,(\alpha\in A\land P(a))の略記
エクストラちなみに$ \forall\alpha\in Aや$ \exist\alpha\in Aを上述した略記だとみなしていい理由も気が向いたときに考えてみるのもいいかも
このアプリの詳細を知りたいですtakker.icon
手書き文字を書き込めるカレンダーアプリ？
それともカレンダーアプリの画面のスクショに書き込んでいる？
yeshoshihara.icon
Googleカレンダーをスクショ→ipadでフォトのマークアップ機能から手描き