有理数に対するリュービルの近似不等式
命題10
$ \alphaを有理数とする。このとき、ある正の数cが存在して、すべての整数pと0でない整数qについて、$ \frac{p}q \neq \alphaならば $ \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geq\frac{c}{|q|}
$ \alpha \in \mathbb{Q}とする。このとき、$ 0<\exist c\in\R,\forall p,q\neq0 \in \Zについて$ \frac{p}q \neq \alpha \rightarrow \left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geq\frac{c}{|q|}.
これ正確に翻訳できているだろうか？hoshihara.icon
アウトな箇所
\Zの制約がpにかかっていないようにみえる
qに量化子がかかっていないようにみえる
記号化が中途半端
GPT-4o.icon
$ (\alpha \in \mathbb{Q}) \rightarrow \left( \exist c>0\forall p\in\Z,\forall q \in \Z \setminus\{0\}, \left ( \frac{p}{q}\neq \alpha \rightarrow \left | \alpha - \frac{p}{q} \right | \geq \frac{c}{|q|}\right ) \right)
q \neq 0 の集合論的表記が見慣れないhoshihara.icon
()の構造の理解があいまい
\alphaを有理数とするとき、以下が成り立つ。
ある正の数cが存在して、すべての整数pと、すべての0でない整数qにおいて、以下が成り立つ。
p/q \neq \alpha ならば xxxが成り立つ。
コンマと矢印の使い分けは？hoshihara.icon
矢印は論理的含意if then
コンマは並列なので、なくても構わない可読性のための区切り記号
順番が変わると命題の意味も変わってしまうので並列とは言えないのでは
証明
\alpha = a/b とおく,a,bはb \neq 0の正の整数で最大公約数は1
aは正の整数でなくてもよいみたいhoshihara.icon
\alpha = \frac{a}{b} = \frac{
わからんhoshihara.icon
c = 1/b とする
わかるわけないhoshihara.icon
b > 0より c > 0をみたす
pを整数、qを0でない整数とし、\frac{p}{q} neq \alpha とおくと？であるとする。
このとき、$ \left | \alpha - \frac{p}{q} \right| = \left| \frac{a}{b}-\frac{p}{q}\right|
$ = \frac{|qa-pb|}{|bq|}=\frac{1}{b}\cdot\frac{|qa-pb|}{|q|}=c\cdot\frac{|qa-pb|}{|q|}.
さらに、$ \frac{p}{q}\neq \alphaであるから$ aq-pb\neq0で
対偶：$ aq-bp = 0なら$ \frac{p}{q}=\alphaになる
（$ \because \left | \alpha - \frac{p}{q} \right| = 0 ）
$ |aq-pb|は整数であるから$ |aq-pb|\geq1
整数どうしの和積は整数になるというのは公理？hoshihara.icon
したがって不等式が成り立つ。$ \square
命題の別の書き方
$ \alpha\in \mathbb{Q}\rightarrow \exists c>0\forall p\in\Z\forall q\in\Z\setminus\{0\},\varphi(p,q)
ただし命題関数$ \varphi(p,q) := \alpha\neq\frac{p}q\rightarrow\left|\alpha - \frac{q}p \right|\geq\frac{c}{|q|}.