渦粘性近似 - くたくたじゅうよん

渦粘性近似

Reynolds応力$ \bm\sigma_R=-\rho\overline{\bm v'\bm v'}を粘性応力と同様のanalogyでモデル化した式のこと

$ \bm\sigma_R=2\rho\nu_T\overline{\bm d}-\frac23\rho k\bm I

$ \rho：密度

$ \nu_T：渦動粘性係数

ちなみに$ \mu_T:=\rho\nu_T：渦粘性係数である

$ \overline{\bm d}変形速度tensorのensemble平均

$ k:=\frac12\overline{|\bm v'|^2}：乱流運動エネルギ

$ \bm I：恒等テンソル

第2項は$ 2\rho k+\mathrm{tr}\bm\sigma_R=0を満たすために必要

Boussinesqが1877年にNewton流体の応力の類推から導入した『乱流の数値シミュレーション改訂版』 p.181

性質

$ {\cal\pmb D}:\bm\sigma_R=2\rho\nu_T\overline{\bm d}

$ {\cal\pmb D}：偏差写像tensor

$ \bm\sigma_R:\overline{\bm d}=2\rho\nu_T\overline{\bm d}:\overline{\bm d}

エネルギ散逸率$ \varepsilonと釣り合うとする

$ \bm\sigma_R:\overline{\bm d}=2\rho\nu_T\overline{\bm d}:\overline{\bm d}=\rho\varepsilon=\mu\overline{\bm d':\bm d'}+\frac12\mu\overline{|\bm\Omega'|^2}

$ \implies\nu_T=\frac12\nu\frac{\overline{\bm d':\bm d'}}{\overline{\bm d}:\overline{\bm d}}+\frac14\nu\frac{\overline{|\bm\Omega'|^2}}{\overline{\bm d}:\overline{\bm d}}

これを$ \overline{\bm d}:\overline{\bm d}で展開するのはむずいか……？

もし$ \varepsilonが$ D:=\sqrt{2\overline{\bm d}:\overline{\bm d}}の函数だとすると、

$ \nu_T\approx\frac16\varepsilon'''(0)D

ここから展開するのはさすがに難しいか……？

だいぶ問題がある

cf. 『乱流の数値シミュレーション改訂版』 6.3.7 k-εモデルの特徴と展開 p.194-197

高周波成分の消去によるくりこみ理論での導出

from 『乱流の数値流体力学』 p. 312-315

全く理解できていないtakker.icon

結論だけ載せると

$ \bm\sigma_T=2\rho\nu_T\overline{\bm d}-\frac23\rho k\bm I

$ \nu_T=C_\mu\frac{k^2}\varepsilon