Biot-Savartの法則

任意のSolenoidal場$ \bm vについて以下が成り立つ

$ \bm v(\bm x)=\frac1{4\pi}\int_{\bm x'\in B}\frac{\bm\nabla\times\bm v(\bm x')}{|\bm x-\bm x'|^2}\times{\rm sgn}(\bm x-\bm x')\mathrm dv'

Biot-Savartの法則は電磁気学でよく現れるが、実際には任意のSolenoidal場$ \bm vで成り立つvector解析の定理である

$ \bm v=\bm\nabla\times\bm A

$ \bm\nabla\cdot\bm A=\bm 0

このとき

$ \bm\omega:=\bm\nabla\times\bm v

$ =\bm\nabla(\bm\nabla\cdot\bm A)-\bm\nabla^2\bm A

$ =-\bm\nabla^2\bm A

有限領域のPoisson方程式の解を仮定すると、$ \bm Aは有限領域$ Bと逆Laplacianを使って

$ \bm A=-\nabla^{-2}_B\bm\omega

と表される

これはvector potential$ \bm Aを元のvector場$ \bm vで解いた式でもある

最終的に$ \bm vを$ \bm\omegaで解く形にすると

$ \bm v=-\bm\nabla\times\nabla^{-2}_B\bm\omega

$ =-\frac1{4\pi}\int_B\bm\omega(\bm x')\times\bm\nabla\frac{1}{|\bm x-\bm x'|}\mathrm dv'

$ =\frac1{4\pi}\int_B\frac{\bm\omega}{|\bm x-\bm x'|^2}\times{\rm sgn}(\bm x-\bm x')\mathrm dv'

これが$ \bm vについてのBiot-Savartの法則である

渦度から流速を計算できる

また、$ \bm\omega=\bm\nabla\times\bm vという関係なので、$ \bm\nabla\cdot\bm v=0なら回転演算子に逆演算が存在するということでもある

Helmholtzの定理の導出と似ている？takker.icon