Coulomb-Guage条件

$ \bm\nabla\cdot\bm A=\bm 0

vector potentialの不定性をのぞくための条件

任意のSolenoidal場には、この条件を満たすvector potentialが必ず存在する

証明

∇⨯∇φ=0だから、$ \bm v=\bm\nabla\times\bm Aなら$ \forall\phi;\bm v=\bm\nabla\times(\bm A+\bm\nabla\phi)が成り立つ

ここで$ \bm A=\bm\nabla\psi+\bm\nabla\times\bm BとHelmholtz分解すると

$ \bm\nabla\cdot(\bm A-\bm\nabla\psi)=\bm\nabla\cdot\bm A-\bm\nabla^2\psi=\bm\nabla^2\psi-\bm\nabla^2\psi=0

が成り立つ。

$ \phi=-\psiを代入すれば

$ \bm v=\bm\nabla\times(\bm A-\bm\nabla\psi)

$ \therefore(\exist\bm A;\bm v=\bm\nabla\times\bm A)\implies\exist\bm A\begin{dcases}\bm v=\bm\nabla\times\bm A\\\bm\nabla\cdot\bm A=0\end{dcases}

これで、vector potentialがあるなら、それ自体もSolenoidal場になるようなvector potentialが必ず存在することが示された