4階tensorメモ

例：Hookeの法則$ \pmb{\sigma}={\cal\pmb{C}}:{\Large\pmb{\varepsilon}}

基本的な2階tensorの演算を4階tensorで表現する

$ {\cal\pmb{I}}:\pmb{T}=\pmb{T}

$ {\cal\pmb I}は4階恒等tensor

$ \tilde{\cal\pmb{I}}:\pmb{T}=\pmb{T}^\top

$ \tilde{\cal\pmb I}は転置写像tensor

任意の4階等方tensorは$ {\cal\pmb{I}},\tilde{\cal\pmb{I}},\pmb{I}\pmb{I}の線型結合で表現できる

$ {\cal\pmb{C}}=\alpha\pmb{I}\pmb{I}+\beta{\cal\pmb{I}}+\gamma\tilde{\cal\pmb{I}}

$ {\cal\pmb{S}}=\frac12({\cal\pmb{I}}+\tilde{\cal\pmb{I}})

対称tensorを作るtensor

対称写像tensorと名付けようtakker.icon

$ {\cal\pmb{W}}=\frac12({\cal\pmb{I}}-\tilde{\cal\pmb{I}})

反対称写像tensorと名付けようtakker.icon

$ {\cal\pmb{D}}={\cal\pmb{I}}-\frac1n\pmb{I}\pmb{I}

偏差tensorを作るtensor

$ nは次元

偏差写像tensorと名付けようtakker.icon

表記の検討

$ {\cal\pmb S}:\bm Tと毎回書くのはカロリー高い

文字数多い

横にスペースを取る

$ \underset{S}{\bm T}:={\cal\pmb S}:\bm T

$ \underset{W}{\bm T}:={\cal\pmb W}:\bm T

$ \underset{D}{\bm T}:={\cal\pmb D}:\bm T

References