直交群O(n)
直交群(ちょっこうぐん、orthogonal group)
n 次元ユークリッド空間上のある固定された点を保つような距離を保つ変換全体からなる群 距離を保つ変換は等長写像
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行列$ Q があったときに転置行列$ Q^T と掛けた結果が$ QQ^T = I_n \ \land \ Q^TQ = I_n で単位行列$ I_n になるものが直交群O(n)
性質
$ O(n) は一般線形群$ GL_n(\R) の正規部分群ではない $ O(n) は$ O(n, \R) の略記として扱われがちらしい
定義
$ n \times n 行列(正方行列)$ Q 、係数は$ \R であるとき、 $ QQ^T = I_n \ \land \ Q^TQ = I_n
$ I_n : 単位行列
$ Q^T : $ Q の転置行列
行列の積について群で、左右どちらから掛けても単位行列$ I_n となるため$ Q^T = Q^{-1} 。
$ Q^T が逆元$ Q^{-1} がであるような行列を直交群$ O(n) と呼ぶ。
確認用
Q. 直交群O(n)とは
参考
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