圏同値
圏同値(けんどうち、英: equivalence of categories)
圏双対=圏同値
圏同値である条件
定義
圏$ A, B があったときに、関手$ F: A → B が圏同値であるとは、 1. 任意の元$ b \in B に対してある元$ a \in A が存在して同型$ F \hspace{1mm} a ≅ b が成り立つ 2. 各元$ a, b \in A について$ F: A(a,b) \to B(F \hspace{1mm} a, F \hspace{1mm} b) が全単射 1. 任意の元$ b \in B に対してある元$ a \in A が存在して同型$ F \hspace{1mm} a ≅ b が成り立つ code:mermaid
flowchart LR
subgraph A
direction LR
a
end
A-->|F|B
subgraph B
direction LR
end
2. 各元$ a, b \in A について$ F: A(a,b) \to B(F \hspace{1mm} a, F \hspace{1mm} b) が全単射 圏論の言葉で言い換えると「関手」
$ A(a,b) は射の集合
$ \mathrm{Hom}_A(a, b) の別の書き方
全単射なら1対1対応
1対1対応ということは射の数が等しい
$ |\mathrm{Hom}(a, b)_A| = |\mathrm{Hom}(F\ a, F\ b)|
関連
確認用
Q. 圏同値
参考
【圏論】同型だったら同一視していいの?【米田への道1】
https://youtu.be/2Rugm-STyQg
メモ