関手 - pogi-log

関手

関手(函手)(かんしゅ、functor)

圏の構造を保つ射

圏同士をつなぐもの

圏から圏への対応付け

対象の集合から別の対象の集合

射の集合から別の射の集合

圏と圏の間の準同型

圏から圏への射

より抽象的？な視点に立って、圏から圏への矢印(関手)を眺めてみると圏から圏への射に見える

関手である条件

恒等射の保存

恒等射を保つ

合成の保存

射は合成ができる

射は結合律を満たす

推移律は合成のようなもの？

関連: 同値関係

圏と同値関係

定義

圏$ \bm{C},\ \bm{D} の対応、関手$ F: \bm{C} \to \bm{D} すなわち

対象の対応$ F_0: Obj(\bm{C}) \to Obj(\bm{D}) と

射の対応$ F_1: Mor(\bm{C}) \to Mor(\bm{D}) を考える。

関手による対象の対応付け

関手$ F: \bm{C} \rightarrow \bm{D} によって$ a \in Obj(\bm{C}) が対応付けられる圏$ \bm{D} の対象を$ F\ a と表す。

code:mermaid

flowchart LR

subgraph C

direction LR

a --> |f|b

end

C-->|F|D

subgraph D

direction LR

fa"F a"-->|"F f"|fb"F b"

end

関手による射の対応付け

関手$ F: \bm{C} \rightarrow \bm{D} によって圏$ \bm{C} の射$ f が対応付けられる圏$ \bm{D} の射を$ F\ f と表す。

圏 $ \bm{C} における射の集合$ \bm{C}(a,b) から

圏$ \bm{D} における射の集合$ \bm{D}(F \ a,F \ b) への

$ F:\bm{C}(a,b) \to \bm{D}(F \ a,F \ b) と表す。

次の条件を満たすとき、$ F は関手である。

1. (恒等射の保存) $ F \ \mathrm{id}_a = \mathrm{id}_{F \ a}

$ \mathrm{id} : 恒等射(identity)

読み方: 対象$ a の恒等射に関手$ F で写したものと、対象$ a を関手$ F で写したものの恒等射は等しい

2. (合成の保存) $ F \ (f \ggg g)=F \ f \ggg F \ g

$ \ggg は合成の演算子

読み方: 射$ f, g を合成してから関手$ F で写したものと、関手$ F で写したものを合成した結果は等しい

$ F \ (f \circ g)=F(f) \circ F(g) という書き方でも良さそう。

関手の例

大小関係を保存する関手

いろいろな関手

表現可能関手

HaskellではFunctorクラス？

確認用

Q. 関手

Q. 圏の構造を保つとは

Q. 対象の対応

Q. 射の対応

Q. 関手の定義

Q. 関手の例

Q. 同型射