共変関手、反変関手

共変関手(きょうへんかんしゅ、covariant functor)

反変関手(はんぺんかんしゅ、contravariant functor)

やってることは双対、双対写像、共変、反変のところと近そう

$ A, B を圏とする。$ A から$ B の共変関手(covariant functor)$ F: A → B は下記からなる。

$ Obj(A) から$ Obj(B) への$ a \mapsto F \ a と書かれる対応

$ a \in Obj(A),\ F\ a \in Obj(B)

各元$ a, b \in A に対して、$ α \mapsto F \ \alpha と書かれる写像$ \mathrm{Hom}_A(a, b) \to \mathrm{Hom}_B(F \ a, F \ b)

$ \mathrm{Hom} はホムセット、射の集合

関手の条件となる下記を満たす。

合成の保存

$ a \xrightarrow{α} b \xrightarrow{β} c であるとき、$ F(β \ggg α) = F \ β \ggg F \ α \ \ \in \mathrm{Hom}_B(F\ a, F\ b)

$ \alpha \in \mathrm{Hom}_A(a, b),\ \beta \in \mathrm{Hom}_A(b, c)

恒等射の保存

各$ a \in A に対して$ F \ 1_a = 1_{F \ a} \ \in \mathrm{Hom}_B(F\ a, F \ a)

$ 1_a \in \mathrm{Hom}_A(a, a)

圏$ A の反転圏(opposite category)というのもを$ A^{op} と表す。反転圏は圏の射を逆向きにしたもの。

圏$ A から圏$ B への関手$ F : A \to B が共変関手

$ \mathrm{Hom}_A(a, b)

$ m_{a,b,c}(\alpha, \beta)

圏$ A^{op} から圏$ B への関手$ F : A \to B が反変関手は

射は$ \mathrm{Hom}_{A^{op}}(a, b) := \mathrm{Hom}_A(b, a)

$ m^{op}_{a,b,c}(α, \beta) := m_{a,b,c}(\beta, \alpha)

確認用

Q. 共変関手

Q. 反変関手