反転圏 - pogi-log

反転圏

反転圏(opposite category)

圏の射を反対にしたもの

$ C(X, Y) というXからYの射を反対にすると$ C(Y, X)

普通の圏が$ \mathrm{cod}(f) = \mathrm{dom}(g) であるものが$ \mathrm{cod}(g) = \mathrm{dom}(f) であるもの

双対圏とも呼ばれる

定義

圏$ C に対して、対象、射を以下のようにする。

(OP1)$ Ob(C^{op}) := Ob(C)

(OP2)$ C^{op}(X, Y) := C(Y,X) \quad (X, Y \in Ob(C))

(OP3) $ m^{op}_{X, Y, Z}(f, g) := m_{Z, Y, X}(g, f)

(OP1)$ Ob(C^{op}) := Ob(C)

$ := (コロンイコール)は左辺を右辺で定義するという意味

プログラミングでよくあるa = 1の記載と同じ

(OP2)$ C^{op}(X, Y) := C(Y,X) \quad (X, Y \in Ob(C))

$ X, Y : 圏$ C の対象

$ C(X, Y) : 圏$ C の射

(OP3) 射の合成$ m^{op} を以下のように定める。

$ m^{op}_{X, Y, Z}(f, g) := m_{Z, Y, X}(g, f)

$ f_{C^{op}} \circ g_{C^{op}} := g_C \circ f_C になるようなもの？

(OP1)～(OP3)の条件を定めると反対圏になる。

確認用

Q. 反転圏