同値関係
同値関係(equivalence relation)
「どのようなものを『同じもの』として考えるのか」のルール
反射律、対称律、推移律を満たすもの
ある集合 $ S において、以下の3つの性質をすべて満たす二項関係$ \sim は S 上の同値関係であるという。 対称律: $ a ∼ b ならば $ b ∼ a . 推移律: $ a ∼ b かつ $ b ∼ c ならば $ a ∼ c . 二項関係はbinary relation
$ a \sim b は、「aとbは同値である」と読む。
同値関係の例
実数の集合$ \mathbb{R} と$ = の関係
これは反射律、対称律、推移律を満たす？
実数の集合$ \mathbb{R} と$ \gt の関係
これは反射律を満たさない。
$ a \gt b となるため、反射律 $ a \sim a を満たさない。
実数の集合$ \mathbb{R} と$ \ge の関係
これは対称律を満たさない。
$ a \ge b であるため、反射律$ a \sim a を満たす。
$ a \ge b, \ b \ge a は一般には成り立たないので対称律$ a \sim b,\ b \sim a を満たさない。
確認テスト
Q. 同値関係
Q. 同値関係の記号は？
Q. 反射律の定義
Q. 反射律の例
Q. 対称律の定義
Q. 対称律の例
Q. 推移律の定義
Q. 推移律の例
関連
参考