ホモトピー同値

ホモトピー同値(homotopy equivalent)

同相よりも緩い関係

Homotopy Type Theory(HoTT)ではとても重要な概念な気がする

ホモトピー同値はホモトピーの恒等写像、連続写像の合成の条件があるので圏の構成に関わる要素

ホモトピックは写像同士の関係、ホモトピー同値は対象同士の関係

例:

写像f, gはホモトピック

位相空間X, Yはホモトピー同値

定義

(位相空間の場合)

閉区間$ \lbrack 0,1 \rbrack を$ I 、$ X,Y を位相空間とする。

$ f: X \to Y 、$ g: Y \to X を連続写像とする。

$ g \circ f \simeq \mathrm{id}_X

$ f \circ g \simeq \mathrm{id}_Y

を満たすとき、ホモトピー同値写像(homotopy equivalence)という。

読み方

$ g \circ f \simeq \mathrm{id}_X

gまるfがラージエックスの恒等写像($ \mathrm{id}_X )とホモトピック($ \simeq )である

ホモトピー同値写像の条件を満たす$ f, g が存在するとき、$ X, Y はホモトピー同値(homotopy equivalent)であるという。