位相空間 - pogi-log

位相空間

位相空間(いそうくうかん、topological space)

集合Xに位相(topology)と呼ばれる構造を付け加えたもの

位相の構造が定義できると以下が定義できるらしい

部分集合の内部、外部、境界

収束性

定義

位相空間とは、集合$ X とその開集合系と呼ばれる$ X の部分集合族$ \mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X) との組$ (X,\mathcal{O}) であって、次の公理を満たすものをいう。

(O1)$ \emptyset,X\in \mathcal{O}

(O2)$ U_1, U_2, \ldots, U_n\in \mathcal{O}\Rightarrow U_1\cap U_2\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}

(O3)$ \{U_i\,|\,i\in I\}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in \mathcal{O}

(O1)$ \emptyset,X\in \mathcal{O}

開集合系$ \mathcal{O} は空集合$ \emptyset と集合$ X を含む。

(O2)$ U_1, U_2, \ldots, U_n\in \mathcal{O}\Rightarrow U_1\cap U_2\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}

開集合系$ \mathcal{O} に含まれる有限個の開集合$ U_1,U_2,...,U_n は、共通部分が$ \mathcal{O} に属する。

(O3)$ \{U_i\,|\,i\in I\}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in \mathcal{O}

開集合系$ \mathcal{O} に属する任意個の開集合$ U_i の和集合は$ \mathcal{O} に属する。

任意個とは有限個、または無限個。可算とは限らない。

具体的(?)な位相空間

密着位相

LeanのMathlibの定義

確認用

Q. 位相空間

Q. 位相の例