位相空間
位相空間(いそうくうかん、topological space)
集合Xに位相（topology）と呼ばれる構造を付け加えたもの
位相の構造が定義できると以下が定義できるらしい
部分集合の内部、外部、境界
収束性
定義
位相空間とは、集合$ X とその開集合系と呼ばれる$ X の部分集合族$ \mathcal{O}\subset \mathcal{P}(X) との組$ (X,\mathcal{O}) であって、次の公理を満たすものをいう。 (O1)$ \emptyset,X\in \mathcal{O}
(O2)$ U_1, U_2, \ldots, U_n\in \mathcal{O}\Rightarrow U_1\cap U_2\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}
(O3)$ \{U_i\,|\,i\in I\}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in \mathcal{O}
(O1)$ \emptyset,X\in \mathcal{O}
開集合系$ \mathcal{O} は空集合$ \emptyset と集合$ X を含む。
(O2)$ U_1, U_2, \ldots, U_n\in \mathcal{O}\Rightarrow U_1\cap U_2\cap\cdots\cap U_n\in\mathcal{O}
開集合系$ \mathcal{O} に含まれる有限個の開集合$ U_1,U_2,...,U_n は、共通部分が$ \mathcal{O} に属する。
(O3)$ \{U_i\,|\,i\in I\}\subset \mathcal{O} \Rightarrow \bigcup_{i\in I}U_i\in \mathcal{O}
開集合系$ \mathcal{O} に属する任意個の開集合$ U_i の和集合は$ \mathcal{O} に属する。
任意個とは有限個、または無限個。可算とは限らない。
確認用
Q. 位相空間
Q. 位相の例
Q.
参考
https://youtu.be/EEaSwb-PTQ0
基礎数学I③ 位相の気持ちを理解しよう - YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=LeVh2HoeBWo
メモ