連続体のエネルギー保存則
$ \rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r
$ \rho：密度
$ r：単位時間単位質量あたりの力学および熱以外のエネルギー供給
以下未整理メモ
導出
$ h=e+\frac p\rho
$ \mathrm de=T\mathrm ds+\frac{p}{\rho^2}\mathrm d\rho
entropyの式だが……$ \frac{p}{\rho^2}\mathrm d\rhoってなんじゃいtakker.icon $ \int_{B_t}\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv
変形する
$ \int_{B_t}\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv
$ = \int_{B_t}(\bm\nabla\cdot(\bm v\cdot\bm\sigma)+\bm b\cdot\bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r)\mathrm dv
$ \implies \rho|\bm v|^2+\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\nabla\cdot(\bm v\cdot\bm\sigma)+\bm b\cdot\bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r
$ =\bm\sigma:\bm\nabla\bm v+(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\cdot\bm v+\bm b\cdot\bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r
$ = \bm\sigma:\bm d+(\bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm b)-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r
$ = \bm\sigma:\bm d+\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot \bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r
テキストの立式が間違えているtakker.icon
$ \frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot \bm v=\frac12\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}|\bm v|^2だから、左辺は$ \rho|\bm v|^2ではなく$ \frac12\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}|\bm v|^2でないとおかしい
$ \int_{B_t}\rho\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}\mathrm dv+\int_{\partial B_t}\frac{\bm q}\theta\cdot\mathrm d\bm a-\int_{B_t}\frac{\rho r}\theta\mathrm dv\ge0
局所系
$ \rho\theta\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}+\theta\bm\nabla\cdot\frac{\bm q}\theta-\rho r\ge0
Helmholtz自由エネルギ$ \psi:=e-s\thetaと$ \rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho rより $ \rho\theta\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}+\theta\bm\nabla\cdot\frac{\bm q}\theta+\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q\ge\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}
$ \iff\rho\frac{\mathrm Ds\theta}{\mathrm Dt}+\theta\bm q\cdot\bm\nabla\frac1\theta+\bm\sigma:\bm d\ge\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}+\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}+\rho\frac{\mathrm Ds\theta}{\mathrm Dt}
$ \iff\theta\bm q\cdot\bm\nabla\frac1\theta+\bm\sigma:\bm d\ge\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}+\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}
$ \iff\bm\sigma:\bm d-\frac{\bm q}\theta\cdot\bm\nabla\theta-\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}-\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}\ge0
$ \dot K+\dot E=F+\dot Q
$ K:=\int_{B_t}\frac12\rho|\bm v|^2\mathrm dv：運動エネルギ $ E:=\int_{B_t}\rho e\mathrm dv：内部エネルギー $ F:=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv：外部仕事率(系外から与えられる力学的仕事) $ \dot Q:=-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv：単位時間あたりに増加する熱
$ r：上記以外の単位時間単位体積あたりのエネルギ供給
$ \dot K=\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\bm v|^2\mathrm dv
$ \dot E=\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv
これを代入し、先の式変形を適用すると
$ \dot K+\dot E=F+\dot Q
$ \iff\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv
$ \implies\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\bm v|^2+\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}= \bm\sigma:\bm d+\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot \bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r
$ \underline{\iff\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r\quad}_\blacksquare
$ \dot N\ge\dot H
$ N:=\int_{B_t}\rho s\mathrm dv
$ \dot H:=-\int_{\partial B_t}\frac{\bm q}\theta\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\frac{\rho r}\theta\mathrm dv
物体のentropyの時間変化は、物体への熱流入と他のエネルギ供給によるエントロピ増加より小さくならない
このテキストでは$ \rho\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}\ge\frac{r}{\theta}\rho-\bm\nabla\cdot\frac{\bm q}\theta(2.108)をClausius-Duhemの不等式とよんでいる $ \bm\sigma:\bm d-\frac{\bm q}\theta\cdot\bm\nabla\theta-\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}-\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}\ge0(2.110)