連続体のエネルギー保存則

$ \rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r

$ \frac{\partial}{\partial t}\int_{B_t}\frac12\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\bm\sigma:\bm d\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv

局所系

$ \rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\left(\frac12|\bm v|^2\right)+\bm\sigma:\bm d=\bm\nabla\cdot(\bm\sigma\cdot\bm v)+\bm b\cdot\bm v

ひずみが生じないということ

逆に連続体の場合は物体全体の速度(おそらく重心速度)の上昇に外力の仕事が全て転嫁されず、変形という形でエネルギが消費される場合がある

以下未整理メモ

導出

$ h=e+\frac p\rho

$ \mathrm de=T\mathrm ds+\frac{p}{\rho^2}\mathrm d\rho

$ \int_{B_t}\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv

変形する

$ \int_{B_t}\rho|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv

$ = \int_{B_t}(\bm\nabla\cdot(\bm v\cdot\bm\sigma)+\bm b\cdot\bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r)\mathrm dv

$ \implies \rho|\bm v|^2+\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\nabla\cdot(\bm v\cdot\bm\sigma)+\bm b\cdot\bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r

$ =\bm\sigma:\bm\nabla\bm v+(\bm\nabla\cdot\bm\sigma)\cdot\bm v+\bm b\cdot\bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r

$ = \bm\sigma:\bm d+(\bm\nabla\cdot\bm\sigma+\bm b)-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r

$ = \bm\sigma:\bm d+\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot \bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r

$ \int_{B_t}\rho\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}\mathrm dv+\int_{\partial B_t}\frac{\bm q}\theta\cdot\mathrm d\bm a-\int_{B_t}\frac{\rho r}\theta\mathrm dv\ge0

局所系

$ \rho\theta\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}+\theta\bm\nabla\cdot\frac{\bm q}\theta-\rho r\ge0

$ \rho\theta\frac{\mathrm Ds}{\mathrm Dt}+\theta\bm\nabla\cdot\frac{\bm q}\theta+\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q\ge\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}

$ \iff\rho\frac{\mathrm Ds\theta}{\mathrm Dt}+\theta\bm q\cdot\bm\nabla\frac1\theta+\bm\sigma:\bm d\ge\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}+\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}+\rho\frac{\mathrm Ds\theta}{\mathrm Dt}

$ \iff\theta\bm q\cdot\bm\nabla\frac1\theta+\bm\sigma:\bm d\ge\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}+\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}

$ \iff\bm\sigma:\bm d-\frac{\bm q}\theta\cdot\bm\nabla\theta-\rho s\frac{\mathrm D\theta}{\mathrm Dt}-\rho\frac{\mathrm D\psi}{\mathrm Dt}\ge0

$ \dot K+\dot E=F+\dot Q

$ \dot K=\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\bm v|^2\mathrm dv

$ \dot E=\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv

これを代入し、先の式変形を適用すると

$ \dot K+\dot E=F+\dot Q

$ \iff\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\bm v|^2\mathrm dv+\int_{B_t}\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}\mathrm dv=\int_{\partial B_t}\bm v\cdot\bm\sigma\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\bm b\cdot\bm v\mathrm dv-\int_{\partial B_t}\bm q\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\rho r\mathrm dv

$ \implies\rho\frac{\mathrm D}{\mathrm Dt}\frac12|\bm v|^2+\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}= \bm\sigma:\bm d+\rho\frac{\mathrm D\bm v}{\mathrm Dt}\cdot \bm v-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r

$ \underline{\iff\rho\frac{\mathrm De}{\mathrm Dt}=\bm\sigma:\bm d-\bm\nabla\cdot\bm q+\rho r\quad}_\blacksquare

$ \dot N\ge\dot H

$ N:=\int_{B_t}\rho s\mathrm dv

$ \dot H:=-\int_{\partial B_t}\frac{\bm q}\theta\cdot\mathrm d\bm a+\int_{B_t}\frac{\rho r}\theta\mathrm dv

物体のentropyの時間変化は、物体への熱流入と他のエネルギ供給によるエントロピ増加より小さくならない