軸力と曲げを考慮した仮想仕事式
$ \mathrm{d}N+q_x\mathrm{d}x=0ー①
$ \mathrm{d}Q+q_y\mathrm{d}x=0ー②
$ \mathrm{d}M-Q\mathrm{d}x=0ー③
$ \mathrm{d}(M')+q_y\mathrm{d}x=0ー④
①と④に任意の函数$ \zeta,\etaをかけて広義の弱形式を作る ここ正式名称がわからん(たぶんない)takker.icon
$ ①\land④\implies \zeta(\mathrm{d}N+q_x\mathrm{d}x)+\eta(\mathrm{d}M'+q_y)=0
$ \iff 0=\zeta(\mathrm{d}N+q_x\mathrm{d}x)+\eta(\mathrm{d}M'+q_y)
$ = \mathrm{d}(\zeta N+\eta M')-(N\mathrm{d}\zeta+M'\mathrm{d}\eta)+(\zeta q_x+\eta q_y)\mathrm{d}x
$ \iff (\zeta q_x+\eta q_y)\mathrm{d}x=N\mathrm{d}\zeta+M'\mathrm{d}\eta-\mathrm{d}(\zeta N+\eta M')
$ \implies \int_{x_0}^{x_1}(\zeta q_x+\eta q_y)\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}N\zeta'\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}M'\eta'\mathrm{d}x-[\zeta N+\eta M']_{x_0}^{x_1}
$ \underline{\iff \int_{x_0}^{x_1}(\zeta q_x+\eta q_y)\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}N\zeta'\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}Q\eta'\mathrm{d}x-[\zeta N+\eta Q]_{x_0}^{x_1}}
$ \because M'=Q
これで広義の弱形式が完成した
ちなみに積分を$ Mのみにするとこうなる。こちらが一般的
$ \iff \int_{x_0}^{x_1}(\zeta q_x+\eta q_y)\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}N\zeta'\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}M(-\eta'')\mathrm{d}x-[\zeta N+\eta Q-\eta'M]_{x_0}^{x_1}
$ \implies \int_{x_0}^{x_1}(u_{vx}q_x+u_{vy}q_y)\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}N{u_{vx}}'\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}M(-{u_{vy}}'')\mathrm{d}x-[u_{vx}N+u_{vy}Q-u_{vy}'M]_{x_0}^{x_1 }
$ \underline{\iff \int_{x_0}^{x_1}(u_{vx}q_x+u_{vy}q_y)\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}\frac{NN_v}{EA}\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}\frac{MM_v}{EI}\mathrm{d}x-[u_{vx}N+u_{vy}Q-u_{vy}'M]_{x_0}^{x_1 }\quad}_\blacksquare
vectorで定式化したうえで単位荷重法を適用する $ \pmb u_v:=u_{vx}\pmb e_x+u_{vy}\pmb e_y
$ \pmb q:=q_x\pmb e_x+q_y\pmb e_y
$ \pmb N:=N\pmb e_x+Q\pmb e_y
とすると、仮想仕事式は
$ \int_{x_0}^{x_1}\pmb q\cdot\pmb u_v\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}\frac{NN_v}{EA}\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}\frac{MM_v}{EI}\mathrm{d}x-[\pmb N\cdot\pmb u_v-u_{vy}'M]_{x_0}^{x_1 }
と書ける。
これを補仮想仕事式に書き直し、単位荷重$ \pmb q_v=\delta(x-a)\pmb{e}_kを代入すると、$ x_0<a<x_1のとき $ \int_{x_0}^{x_1}\pmb q_v\cdot\pmb u\mathrm{d}x=\int_{x_0}^{x_1}\frac{N_vN}{EA}\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x-[\pmb N_v\cdot\pmb u-u_y'M_v]_{x_0}^{x_1 }
$ \implies \pmb u(a)\cdot\pmb e_k=\int_{x_0}^{x_1}\frac{N_vN}{EA}\mathrm{d}x+\int_{x_0}^{x_1}\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x-[\pmb N_v\cdot\pmb u-u_y'M_v]_{x_0}^{x_1 }
となる
なお、$ \pmb e_kは任意の単位vectorとした
$ x_1=aの場合
Diracのdelta函数の性質より、$ \int_{x_0}^a\pmb q_v\cdot\pmb u\mathrm{d}x=\int_{x_0}^a\pmb u\cdot\pmb e_k\delta(x-a)\mathrm{d}x=0となる $ 0=\int_{x_0}^a\frac{N_vN}{EA}\mathrm{d}x+\int_{x_0}^a\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x-[\pmb N_v\cdot\pmb u-u_y'M_v]_{x_0}^a
荷重は$ \pmb N_v(a)=\pmb e_k, \pmb N_v(a)-\pmb N_v(x_0)=-\int_{x_0}^a\pmb q_v\mathrm{d}x=\pmb 0(Diracのdelta函数の性質より0になる)となる。これらを代入すると $ \pmb u(a)\cdot\pmb e_k=\int_{x_0}^a\frac{N_vN}{EA}\mathrm{d}x+\int_{x_0}^a\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x+\pmb u(x_0)\cdot\pmb e_k+[u_y'M_v]_{x_0}^a
となる
なお、以上で用いた位置$ aは任意の位置を取れるので、任意位置での変位(たわみ)を求められたことになる
ただし、それには任意位置に単位荷重を置いた時の断面力$ N_v,M_vが求まっている必要がある
$ \int_B\pmb\sigma:\pmb\varepsilon\mathrm{d}V=\int_{\partial B}(\pmb\sigma\cdot\pmb u)\cdot\mathrm{d}\pmb{S}+\int_B\pmb K\cdot\pmb u\mathrm{d}V
$ \implies\sum_i\int_B\sigma_{ii}\varepsilon_{ii}=
Reference