単位荷重法
ある$ qもしくは$ Mが求まっている部材にて、たわみ$ u_yは以下を満たす
$ -EI{u_y}''''+q=0ー①
$ EI{u_y}''+M=0
どちらも等価な式
この系を系Aとする
ここで、ある点$ aでのたわみ$ u_y(a)が求めることが目的だとする
外力として$ x=aに単位荷重のみが作用する系Bを考える
この時のたわみを$ u_{yv}(x,a)とする
この系では以下が成立する
$ -EI{u_{yv}(x,a)}''''+\delta(x-a)=0ー②
$ EI{u_{yv}}''+M_v=0ー③
$ M_vは系Bでの曲げmoment
②に$ u_yをかけて、積の微分を2回つかって変形する
$ ②\implies (-EI{u_{yv}(x,a)}''''+\delta(x-a))u_y\mathrm{d}x=0
$ \iff \mathrm{d}(u_y(a)\llbracket x=a\rrbracket)=EIu_y\mathrm{d}(u_{yv}''')
$ \iff \mathrm{d}(u_y(a)\llbracket x=a\rrbracket)+EIu_{yv}'''\mathrm{d}u_y=EI\mathrm{d}(u_yu_{yv}''')
$ \iff \mathrm{d}(u_y(a)\llbracket x=a\rrbracket)+EIu_y'\mathrm{d}(u_{yv}'')=EI\mathrm{d}(u_yu_{yv}''')
$ \iff \mathrm{d}(u_y(a)\llbracket x=a\rrbracket)+EI\mathrm{d}(u_y'u_{yv}'')=EI\mathrm{d}(u_yu_{yv}''')+EIu_{yv}''\mathrm{d}(u_y')
$ \iff \mathrm{d}(u_y(a)\llbracket x=a\rrbracket)=\mathrm{d}EI(u_yu_{yv}'''-u_y'u_{yv}'')+EIu_{yv}''\mathrm{d}(u_y')
$ =\mathrm{d}EI(u_yu_{yv}'''-u_y'u_{yv}'')+\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x
③を使った
これを$ aを含む領域$ x_0\le x\le x_1で定積分すれば、$ u_y(a)が求まる
$ u_y(a)=\int_{x_0}^{x_1}\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x+EI(u_y(x_1)u_{yv}'''(x_1)-u_y'(x_1)u_{yv}''(x_1)-u_y(x_0)u_{yv}'''(x_0)+u_y'(x_0)u_{yv}''(x_0))
$ EI{u_y}''+M=0,\mathrm{d}M=Q\mathrm{d}x,EI{u_{yv}}''+M_v=0,\mathrm{d}M_v=Q_v\mathrm{d}xを使って第2項以降を書き換えると
$ u_y(a)=\int_{x_0}^{x_1}\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x-u_y(x_1)Q_v(x_1)+u_y'(x_1)M_v(x_1)+u_y(x_0)Q_v(x_0)-u_y'(x_0)M_v(x_0)
となる
$ \mathrm{d}(M_vu_y'-Q_vu_y)-(M_vu_y''+\delta(x-a)u_y)\mathrm{d}x=0
$ \iff\delta(x-a)u_y\mathrm{d}x=-M_vu_y''\mathrm{d}x+\mathrm{d}(M_vu_y'-Q_vu_y)
$ = \frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x+\mathrm{d}(M_vu_y'-Q_vu_y)
$ \iff \mathrm{d}(u_y\llbracket x=a\rrbracket)= \frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x+\mathrm{d}(M_vu_y'-Q_vu_y)
$ \implies u_y=\int_{x_0}^{x_1}\frac{M_vM}{EI}\mathrm{d}x+\left[M_vu_y'-Q_vu_y\right]_{x=x_0}^{x=x_1}
第2項以降を境界項と呼んでおく
スパン全体を積分範囲に含めた場合、境界項は大抵0になる
固定端か支点か自由端が境界になる
系Aで固定端の場合は$ u_y=u_y'=0になるので消える
系Bで自由端の場合、剪断力が0になるから消える
支点の場合、曲げモーメントが0になるから消える
たわみの時みたく計算するのは二度手間なので省く
$ \mathrm{d}(M_vu_y''-Q_vu_y')-(M_vu_y'''+\delta(x-a)u_y')\mathrm{d}x=0
$ \iff\delta(x-a)u_y'\mathrm{d}x=-M_vu_y'''\mathrm{d}x+\mathrm{d}(M_vu_y''-Q_vu_y')
$ = \frac{M_vQ}{EI}\mathrm{d}x+\mathrm{d}(M_vu_y''-Q_vu_y')
$ \iff \mathrm{d}(u_y'\llbracket x=a\rrbracket)= \frac{M_vQ}{EI}\mathrm{d}x+\mathrm{d}(M_vu_y''-Q_vu_y')
$ \implies u_y'=\int_{x_0}^{x_1}\frac{M_vQ}{EI}\mathrm{d}x+\left[M_vu_y''-Q_vu_y'\right]_{x=x_0}^{x=x_1}
これあっていないっぽいが……
いや、あっている。使い勝手が最悪だから使われていないだけ
境界項が消えない
Reference