初等梁のたわみの微分方程式の弱形式

$ M=-EI_z\frac{\mathrm{d}^2 u_{cy}}{{\mathrm{d}x}^2}

ただし

$ M: 曲げmoment

$ E: Young率

$ I_z: 梁方向の軸回りの断面2次moment

$ u_{cy}: 図心のたわむ方向の変位

これに任意函数$ \etaをかけて変形するのだが、下の計算メモで計算した結果、曲げmomentと剪断力の関係式$ \mathrm{d}M=Q\mathrm{d}xだけで展開できることがわかったtakker.icon

たわみや曲げ剛性は全く関係ない

$ \mathrm{d}M=Q\mathrm{d}x

$ \iff (M'-Q)\mathrm{d}x=0

$ \implies (M'-Q)\eta'{\rm d}x=0

任意函数$ \eta'をかけた

0に何をかけても0である

$ \iff \left(\frac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}-Q\right)\frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}x}{\rm d}x=0

$ \iff \frac{\mathrm{d}\eta}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}M-Q\mathrm{d}\eta=0

$ \iff \eta'\mathrm{d}M-Q\mathrm{d}\eta=0

$ \iff \mathrm{d}(\eta'M-Q\eta)-M\eta''\mathrm{d}x+\eta Q'\mathrm{d}x=0

$ \iff \mathrm{d}(\eta'M-Q\eta)-M\eta''\mathrm{d}x-\eta q\mathrm{d}x=0

$ qは分布荷重で、$ \mathrm{d}Q+q\mathrm{d}x=0という関係がある

$ \iff \mathrm{d}(M\eta'-Q\eta)-(M\eta''+q\eta)\mathrm{d}x=0

おわり。……この後どうするんだろうこれtakker.icon

こっから仮想仕事の原理につながるらしい

$ Q\etaは境界条件$ \eta=0で消えるからいいとして、$ M\eta'は消えないぞ……

そうだ、もし支点なら$ M=0になるから消えるんだ

計算メモ

https://kakeru.app/f96aeed2b757a2f34fc185b591e0dff3 https://i.kakeru.app/f96aeed2b757a2f34fc185b591e0dff3.svg

Reference