圧縮性流れにおけるNavier-Stokes方程式を導出する
粘性に関わる係数は全て一定とみなす
$ \pmb{d}:=\frac12(\pmb\nabla\pmb v^\top+\pmb\nabla\pmb v)
$ \pmb{w}:=\frac12(\pmb\nabla\pmb v^\top-\pmb\nabla\pmb v)
2023-06-04 02:46:27 関係あるかな？takker.icon
表面力が$ \pmb{d}の線型函数だと仮定すると、
$ \pmb{\sigma}=\pmb{A}+{\cal\pmb{B}}:\pmb{d}
となる$ \pmb{A}と$ \pmb{\cal B}が存在する
静水圧も含めた全ての応力を考えている
流体は等方性をもつので、$ \pmb{A}と$ \pmb{\cal B}はともに等方tensorになるはずである よって$ \pmb{\sigma}=a\pmb{I}+(\alpha\pmb{I}\pmb{I}+\beta{\cal\pmb{I}}+\gamma\tilde{\cal\pmb{I}}):\pmb{d}と書ける
各項を整理する
1. $ \alpha\pmb{I} \pmb{I}:\pmb{d}=\frac12\alpha\left(\pmb\nabla \pmb{v}^\top:\pmb{I}+\pmb\nabla \pmb{v}:\pmb{I}\right)\pmb{I}
$ =\frac12\alpha(\pmb\nabla \cdot\pmb{v}+\pmb\nabla \cdot\pmb{v})\pmb{I}
$ =\alpha(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\pmb{I}
2. $ \beta{\cal\pmb{I}}:\pmb{d}=\beta\pmb{d}
3. $ \gamma\tilde{\cal\pmb{I}}:\pmb{d}=\gamma\pmb{d}^\top=\gamma\pmb{d}
$ \because\pmb{d}は対称tensor
$ \therefore\pmb{\sigma}=a\pmb{I}+\alpha(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\pmb{I}+(\beta+\gamma)\pmb{d}
各係数を決めていく
$ a\pmb{I}は圧力項で、$ a=-Pとなる
ここ論理展開があやしい？らしい
$ \beta+\gammaは粘性係数$ 2\mu $ \therefore\pmb{\sigma}=-P\pmb{I}+\lambda(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\pmb{I}+2\mu\pmb{d}
あとは領域$ \mathrm{d}Vに発生する面積力$ \pmb\nabla\cdot\pmb\sigma\mathrm{d}Vを求めればいい
$ \pmb\nabla\cdot\pmb\sigma\mathrm{d}V=(-\pmb{\nabla}P+\lambda\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})+\mu(\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})+\pmb{\nabla}^2\pmb{v}))\mathrm{d}V
$ =-\pmb{\nabla}P\mathrm{d}V+(\lambda+\mu)\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})\mathrm{d}V+\mu\pmb{\nabla}^2\pmb{v}\mathrm{d}V
$ \underline{\rho\frac{\mathrm{D}\pmb{v}}{\mathrm{D}t}=\pmb{F}-\pmb{\nabla}P+(\lambda+\mu)\pmb{\nabla}(\pmb{\nabla}\cdot\pmb{v})+\mu\pmb{\nabla}^2\pmb{v}\quad}_\blacksquare