超幾何函數
hypergeometric function。第一種超幾何函數
$ _2F_1\left(\begin{matrix}a,b \\ c\end{matrix};z\right)Hypergeometric2F1[a,b,c,z]
級數表示$ _2F_1\left(\begin{matrix}a,b \\ c\end{matrix};z\right):=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a)^n(b)^n}{(c)^n}\frac{z^n}{n!}=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(b)}\sum_{n=0}^\infty\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(b+n)}{\Gamma(c+n)}\frac{z^n}{n!}
積分表示$ _2F_1\left(\begin{matrix}a,b \\ c\end{matrix};z\right):=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_0^1 t^{a-1}(1-t)^{c-a-1}(1-zt)^{-b}dt
超幾何微分方程式
$ z(1-z)\frac{d^2F}{dz^2}+(c-(a+b+1)z)\frac{dF}{dz}-abF=0.
第二種超幾何函數
第一種超幾何函數とは線形獨立なもう一つの解
$ _pF_q\left(\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_p \\ b_1,b_2,\dots,b_q\end{matrix};z\right):=\sum^\infty_{n=0}\frac{(a_1)^n(a_2)^n\dots(a_p)^n}{(b_1)^n(b_2)^n\dots(b_q)^n}\frac{z^n}{n!}HypergeometricPFQ[{a1,…,ap},{b1,…,bq},z]
Meijer の G 函數$ G^{mn}_{pq}\left(z;\begin{matrix}a_1,\dots,a_p \\ b_1,\dots,b_q\end{matrix}\right)MeijerG[{{a1,…,an},{a(n+1),…,ap}},{{b1,…,bm},{b(m+1),…,bq}},z]
Riemann のＰ函數によって$ _2F_1\left(\begin{matrix}a,b \\ c\end{matrix};z\right)=P\left\{\begin{matrix}0 & 1 & \infty \\ 0 & 0 & a \\ 1-c & c-a-b & b\end{matrix}\quad z\right\} $ 0での特異點の特性指數が$ \{0,1-c\}
$ 1での特異點の特性指數が$ \{0,c-a-b\}
$ \inftyでの特異點の特性指數が$ \{a,b\}
合流型超幾何函數 (confluent hypergeometric function)
合流型超幾何微分方程式$ z\frac{d^2w}{dz^2}+(b-z)\frac{dw}{dz}-aw=0
Kummer の合流型超幾何函數 (第一種合流型超幾何函數)$ _1F_1\left(\begin{matrix}a \\ b\end{matrix};z\right)Hypergeometric1F1[a,b,z]
Tricomi の合流型超幾何函數 (第二種合流型超幾何函數)$ U(a,b;z)HypergeometricU[a,b,z]
Kummer の合流型超幾何函數とは線形獨立な解
$ U(a,b;z)=\frac{\Gamma(1-b)}{\Gamma(a+1-b)}~_1F_1\left(\begin{matrix}a \\ b\end{matrix};z\right)+\frac{\Gamma(b-1)}{\Gamma(a)}z^{1-b}~_1F_1\left(\begin{matrix}a+1-b \\ 2-b\end{matrix};z\right).
Whittaker 函數
Coulomb wave functions
Appell 函數
指數函數$ e^z=~_0F_0\left(\begin{matrix}- \\ -\end{matrix};z\right). 二項係數$ (1-z)^{-a}=~_1F_0\left(\begin{matrix}a \\ -\end{matrix};z\right). 幾何級數 (等比級數)$ |z|<1に對して$ \sum_{k=0}^\infty z^k=\frac 1{1-z}=~_1F_0\left(\begin{matrix}1 \\ -\end{matrix};z\right)
$ \gamma(a,z):=\int_0^z t^{a-1}e^{-t}dt=\frac{z^a}a~_1F_1\left(\begin{matrix}a \\ a+1\end{matrix};z\right).
$ \Gamma(a,z):=\int_z^\infty t^{a-1}e^{-t}dt=z^ae^{-z}U\left(\begin{matrix}1 \\ a+1\end{matrix};z\right).
誤差函數$ \frac{\sqrt\pi}{2}{\rm erf}(x)=\int_0^z e^{-t^2}dt=\frac 1 2\gamma\left(\frac 1 2,-z^2\right)=z~_1F_1\left(\begin{matrix}\frac 1 2 \\ \frac 3 2\end{matrix};-z^2\right) $ \sin z=z~_0F_1\left(\begin{matrix}- \\ \frac 3 2\end{matrix};-\frac{x^2}4\right).
$ \cos z=~_0F_1\left(\begin{matrix}- \\ \frac 1 2\end{matrix};-\frac{x^2}4\right).
逆三角函數
$ \arcsin z=z~_2F_1\left(\begin{matrix}\frac 1 2,\frac 1 2 \\ \frac 3 2\end{matrix};z^2\right).
$ \arctan z=z~_2F_1\left(\begin{matrix}1,\frac 1 2 \\ \frac 3 2\end{matrix};-z^2\right).
$ \sinh z=z~_0F_1\left(\begin{matrix}- \\ \frac 3 2\end{matrix};\frac{z^2}4\right).
$ \cosh z=~_0F_1\left(\begin{matrix}- \\ \frac 1 2\end{matrix};\frac{z^2}4\right).
正弦積分函數$ {\rm Si}(z):=\int_0^z\frac{\sin t}t dt=z~_1F_2\left(\begin{matrix}\frac 1 2 \\ \frac 3 2,\frac 3 2\end{matrix};-\frac{z^2}4\right)
第一種完全橢圓積分$ K(z):=\int_0^{\frac\pi 2}\frac 1{\sqrt{1-z^2\sin^2\theta}}d\theta=\frac\pi 2~_2F_1\left(\begin{matrix}\frac 1 2,\frac 1 2 \\ 1\end{matrix};z^2\right)
第二種完全橢圓積分$ E(z):=\int_0^{\frac\pi 2}\sqrt{1-z^2\sin^2\theta}d\theta=\frac\pi 2~_2F_1\left(\begin{matrix}\frac 1 2,-\frac 1 2 \\ 1\end{matrix};z^2\right)
ζ函數$ \zeta(n)=~_{n+1}F_n\left(\begin{matrix}1,1,…,1,1 \\ 2,2…,2\end{matrix};1\right) 超冪根 (ultraradical。Bring 根 (Bring radical))$ {\cal J}\!\overline a,$ {\rm BR}(a)
方程式$ x^5+x+a=0の唯一の實數根
$ {\rm BR}(a)=-a~_4F_3\left(\begin{matrix}\frac 1 5,\frac 2 5,\frac 3 5,\frac 4 5 \\ \frac 1 2,\frac 3 4,\frac 5 4\end{matrix};-5\left(\frac{5a}4\right)^4\right).
一般の五次方程式は Bring-Jerrard 標準形$ x^5+px+q=0 に歸着できる。Bring-Jerrard 標準形の根は$ \sqrt[4]{\left(-\frac p 5\right)}{\rm BR}\left(-\frac 1 4\left(-\frac 5 p\right)^{\frac 5 4}q\right) と解ける
超幾何分布 (hypergeometric distribution)