三角函數
trigonometric function。圓函數 (circular function)
弦
正弦 (sine)$ \sin x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=\pi x\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{n^2}\right)
餘弦 (cosine)$ \cos x=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}=\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{x^2}{(n-\frac 1 2)^2}\right)
接
正接 (tangent)$ \tan x=\frac{\sin x}{\cos x}
餘接 (cotangent)$ \cot x=\frac 1{\tan x}
割
正割 (secant)$ \sec x=\frac 1{\cos x}
餘割 (cosecant)$ \csc x=\frac 1{\sin x}
外正割 (exsecant。exterior secant)$ {\rm exsec}~x=\sec x-1
外餘割 (excosecant。exterior cosecant)$ {\rm excsc}~x=\csc x-1
矢
正矢 (versine。versed sine)$ {\rm varsin}~x=1-\cos x
半正矢 (haversine。half versed sine)$ {\rm haversin}~x=\frac{1-\cos x}2
餘矢 (coversine。coversed sine)$ {\rm coversin}~x=1-\sin x
半餘矢 (hacoversine)$ {\rm hacoversin}~x=\frac{1-\sin x}2
餘的正矢 (vercosine。versed cosine)$ {\rm vercosin}~x=1+\cos x
半餘的正矢 (havercosine)$ {\rm havercosin}~x=\frac{1+\cos x}2
餘的餘矢 (covercosine。coversed cosine)$ {\rm covercosin}~x=1+\sin x
半餘的餘矢 (hacovercosine)$ {\rm hacovercosin}~x=\frac{1+\sin x}2
弦の長さ (chord)$ {\rm crd}~x=2\sin\frac x 2
逆三角函數 (inverse trigonometric function) 逆正弦$ \arcsin x=\int_0^x\frac 1{\sqrt{1-z^2}}{\rm d}z\quad,|x|\le 1=\sum_{n=0}^\infty\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}x^{2n+1}
逆餘弦$ \arccos x=\int_x^1\frac 1{\sqrt{1-z^2}}{\rm d}z\quad,|x|\le 1
逆正接$ \arctan x=\int_0^x\frac 1{1+z^2}{\rm d}z=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}
實函數としての周期は$ 2\pi。$ \sin(\theta+2\pi n)=\sin\theta\quad,n\in\Z
微積分
$ \sin'x=\cos x。$ \int\sin x{\rm d}x=-\cos x+C
$ \cos'x=-\sin x。$ \int\cos x{\rm d}x=\sin x+C
$ \tan'x=1+(\tan x)^2。$ \int\tan x{\rm d}x=-\ln|\cos x|+C
$ \arcsin'x=\frac 1{\sqrt{1-x^2}}\quad,x\ne\pm 1。$ \int\arcsin x{\rm d}x=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C
$ \arccos'x=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}\quad,x\ne\pm 1。$ \int\arccos x{\rm d}x=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C
$ \arctan'x=\frac 1{1+x^2}\quad,x\ne\pm i。$ \int\arctan x{\rm d}x=x\arctan x+\frac{\ln(1+x^2)}2+C
常微分方程式の解
$ f''(x)=-f(x),$ f(0)=1,$ f'(0)=0の解は$ f(x)=\cos x
$ \begin{cases}f'(x)=-g(x) \\ g'(x)=f(x)\end{cases},$ f(0)=1,$ g(0)=0の解は$ f(x)=\cos x,$ g(x)=\sin x
複素函數として
複素指數函數$ e^{x+yi}=e^x{\rm cis}~y:=e^x(\cos y+i\sin y) $ \sin z=\frac{e^{zi}-e^{-zi}}{2i}
$ \cos z=\frac{e^{zi}+e^{-zi}}{2}
$ \arcsin z=i\ln(zi+\sqrt{1-z^2})
$ \arctan z=\frac i 2(\ln(1-zi)-\ln(1+zi))
加法定理
雙曲線函數 (hyperbolic function)$ \sinh,$ \cosh $ \sinh x:=\frac{e^x-e^{-x}}2=\sum_{n=0}^\infty\frac 1{(2n+1)!}x^{2n+1}
$ \cosh x:=\frac{e^x+e^{-x}}2=\sum_{n=0}^\infty\frac 1{(2n)!}x^{2n}
$ \tanh x:=\frac{\sinh x}{\cosh x}
$ i\sin x=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}2=\sinh(ix)
$ \cos x=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}2=\cosh(ix)
「角度」(面積) の觀點から
單位圓$ x^2+y^2=1は$ (\cos\theta)^2+(\sin\theta)^2=1と書ける
「半徑」1、中心角$ \theta($ 0\le\theta<2\pi) の扇形の面積は$ \frac\theta 2
扇形は、直線$ y=0と、原點と單位圓を結ぶ線分と、單位圓との圍む圖形
「單位雙曲線」$ x^2-y^2=1は$ (\cosh\theta)^2-(\sin\theta)^2=1と書ける
直線$ y=0と、原點と單位雙曲線を結ぶ線分と、單位雙曲線との圍む圖形の面積を$ \frac\theta 2とすると雙曲線函數の引數を表せる 雙曲角 (hyperbolic angle)
抛物線
過去において、幾何學的問題や應用上の課題に對應するため、樣々な形態の三角法が提案されてきた。圓周三角法と竝んで、その雙曲型對應物は特殊相對性理論の幾何學的枠組みを構築する上で極めて重要な役割を果たしてきた。抛物線三角法はこの二つの中閒的な位置を占めてをり、本稿ではその特性について論じるとともに、標準的な三角法形式との類似點を明らかにし、さらに投射物の抛物運動といふ基礎的な問題との關聯性についても考察する。
三角法抛物線函數 (trigonometric parabolic functions)
抛物線$ x^2+y=1。$ ({\rm _pc}(\theta))^2+{\rm _ps}(\theta)=1
$ {\rm _pc}(\theta)=-2\sinh\left(\frac 1 3\sinh^{-1}\left(\frac{3\theta-4}2\right)\right)
$ {\rm _ps}(\theta)=3-2\cosh\left(\frac 2 3\sinh^{-1}\left(\frac{3\theta-4}2\right)\right)
仿雙曲線函數 (para-hyperbolic functions)
抛物線$ x-y^2=1。$ {\rm _pch}(\theta)-({\rm _psh}(\theta))^2=1
$ {\rm _pch}(\theta)=3+2\cosh\left(\frac 2 3\cosh^{-1}\left(\frac{3\theta}2\right)\right)
$ {\rm _psh}(\theta)=-2\cosh\left(\frac 1 3\cosh^{-1}\left(\frac{3\theta}2\right)\right)
二元數の觀點から
複素數$ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta 分解型複素數$ e^{j\theta}=\cosh\theta+i\sinh\theta 二重數$ e^{\varepsilon\theta}=1+\varepsilon\theta $ {\rm cosp}~\theta=1
$ {\rm sinp}~\theta=\theta
圓錐曲線上に點の加法を定義する
$ {\rm cosp}~\theta=\theta
$ {\rm sinp}~\theta=\theta^2
Fourier 級數$ \lim_{m\to+\infty}\sum^m_{n=-m}c_n(\cos nx+i\sin nx),$ c_n:=\frac 1{2\pi}\int^\pi_{-\pi}f(t)(-\cos nt+i\sin nt){\rm d}t