橢圓函數
elliptic function
二重周期複素有理型函數$ f(z)=f(z+a)=f(z+b),$ \frac a b\notin\R $ \wp(z;\omega_1,\omega_2)
$ u:=F(\phi,k)Legendre の第一種不完全橢圓函數として
$ {\rm sn}~u:=\sin \phi
$ {\rm sn}'x={\rm cn}~x~{\rm dn}~x
$ {\rm cn}~u:=\cos \phi
$ {\rm cn}'x=-{\rm sn}~x~{\rm dn}~x
$ {\rm dn}~u:=\sqrt{1-k^2\sin^2 \phi}
$ {\rm dn}'x=-k^2{\rm sn}~x~{\rm cn}~x
$ {\rm ns}~u:=\frac 1{{\rm sn}~u},$ {\rm nc}~u:=\frac 1{{\rm cn}~u},$ {\rm nd}~u:=\frac 1{{\rm dn}~u}
$ {\rm sc}~u:=\frac{{\rm sn}~u}{{\rm cn}~u},$ {\rm sd}~u:=\frac{{\rm sn}~u}{{\rm dn}~u},$ {\rm dc}~u:=\frac{{\rm dn}~u}{{\rm cn}~u},$ {\rm ds}~u:=\frac{{\rm dn}~u}{{\rm cn}~u},$ {\rm cs}~u:=\frac{{\rm cn}~u}{{\rm sn}~u},$ {\rm cd}~u:=\frac{{\rm cn}~u}{{\rm dn}~u}
Jacobi の標準形
第一種$ F(x,k):=\int_0^x\frac 1{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}dt
$ F(x,0)=\arcsin x
$ F(x,1)=\tanh^{-1}(x)
第二種$ E(x,k):=\int_0^x\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}dt
$ E(x,0)=\arcsin x
$ E(x,1)=x
第三種$ \Pi(a;x,k):=\int_0^x\frac 1{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}dt
$ kを母數 (modulus)、$ aを特性 (characteristic) と呼ぶ
Legendre の標準形
第一種$ F(\phi,k):=\int_0^\phi\frac 1{1-k^2\sin^2\theta}d\theta
$ F(\phi,0)=\phi
$ F(\phi,1)=\sin\phi
第一種完全橢圓積分$ K(z):=F(1,k)=\int_0^{\frac\pi 2}\frac 1{\sqrt{1-z^2\sin^2\theta}}d\theta
單振り子
周期$ T=\frac 4\omega K(k)=\frac 4\omega\int_0^{\frac\pi 2}\frac 1{\sqrt{1-k^2\sin^2\phi}}d\phi\Doteq\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac l g}
第二種$ E(\phi,k):=\int_0^\phi\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}d\theta
$ E(\phi,0)=\phi
第二種完全橢圓積分$ E(z):=E(1,k)=\int_0^{\frac\pi 2}\sqrt{1-z^2\sin^2\theta}d\theta
第三種$ \Pi(a;\phi,k):=\int_0^\phi\frac 1{(1-a\sin^2\theta)\sqrt{1-k^2\sin^2\theta}}d\theta
Weierstrass の標準形