橢圓函數
elliptic function
二重周期複素有理型函數$ f(z)=f(z+a)=f(z+b),$ \frac a b\notin\R lemniscate 橢圓函數
$ {\rm sl}^{-1}(z)=\int_0^z\frac 1{\sqrt{1-t^4}}{\rm d}t
$ \arcsin z=\int_0^z\frac 1{\sqrt{1-t^2}}{\rm d}tの類似
$ {\rm sl}(z)=\frac 1{\sqrt 2}\frac{{\rm sn}(\sqrt 2 z,\frac 1 2)}{{\rm dn}(\sqrt 2 z,\frac 1 2)}
$ {\rm cl}^{-1}(z)
$ {\rm cl}(z)={\rm cn}(\sqrt 2 z,\frac 1 2)
$ u:=F(z,k)Legendre の第一種不完全橢圓積分として
$ {\rm sn}~u:=\sin z
$ {\rm sn}'x={\rm cn}~x~{\rm dn}~x
$ {\rm cn}~u:=\cos z
$ {\rm cn}'x=-{\rm sn}~x~{\rm dn}~x
$ {\rm dn}~u:=\sqrt{1-k^2(\sin z)^2}
$ {\rm dn}'x=-k^2{\rm sn}~x~{\rm cn}~x
$ {\rm ns}~u:=\frac 1{{\rm sn}~u},$ {\rm nc}~u:=\frac 1{{\rm cn}~u},$ {\rm nd}~u:=\frac 1{{\rm dn}~u}
$ {\rm sc}~u:=\frac{{\rm sn}~u}{{\rm cn}~u},$ {\rm sd}~u:=\frac{{\rm sn}~u}{{\rm dn}~u},$ {\rm dc}~u:=\frac{{\rm dn}~u}{{\rm cn}~u},$ {\rm ds}~u:=\frac{{\rm dn}~u}{{\rm cn}~u},$ {\rm cs}~u:=\frac{{\rm cn}~u}{{\rm sn}~u},$ {\rm cd}~u:=\frac{{\rm cn}~u}{{\rm dn}~u}
橢圓 theta 函數$ \vartheta
$ \wp(z;\omega_1,\omega_2):=\frac 1{z^2}+\sum_{n^2+m^2\ne 0}\left(\frac 1{(z+m\omega_1+n\omega_2)^2}-\frac 1{(m\omega_1+n\omega_2)^2}\right)
$ \wp(z;\tau):=\wp(z;1,\tau)
二重周期性$ \wp(z)=\wp(z+1)=\wp(z+\tau)
母數 (modulus)$ \tau=\frac{\omega_2}{\omega_1}
$ \wp(z;\omega_1,\omega_2)=\frac{\wp(\frac z{\omega_1};\tau)}{{\omega_1}^2}
周期格子$ \Lambda:=\{m\omega_1+n\omega_2|m,n\in\Z\}
$ \wp(z;\omega_1,\omega_2)を$ \wp(z;\Lambda)とも書く
第一種橢圓積分$ F(z,k)の逆函數と見做せる
任意の橢圓函數は複素代數函數體$ \Complex(\wp,\wp')の有理函數として書ける Laurent 級數$ \wp(z;\omega_1,\omega_2)=z^{-2}+\frac 1{20}g_2 z^2+\frac 1{28}g_3 z^4+O(z^6) $ g_2:=60\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-4},$ g_3:=140\sum_{(m,n)\ne(0,0)}(m\omega_1+n\omega_2)^{-6}を不變量 (invariant) と呼ぶ
$ \wp'^2=4\wp^3-g_2\wp-g_3
$ y^2=4x^3-g_2 x-g_3は橢圓曲線である modular 判別式$ \Delta:={g_2}^3-27{g_3}^2
j-不變量$ j(\omega_1,\omega_2)=j(1,\tau):=\frac{1728{g_2}^3}\Delta
$ kを母數 (modulus)、$ aを特性 (characteristic) と呼ぶ
$ m=k^2や、modular 角$ \alpha=\arcsin kを用ゐる事もある
第一種橢圓積分
Jacobi の標準形$ F(z,k):=\int_0^z\frac 1{\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}{\rm d}t
Legendre の標準形$ F(z,k):=\int_0^z\frac 1{\sqrt{1-k^2(\sin\varphi)^2}}{\rm d}\varphi
第一種完全橢圓積分$ K(k):=F(\frac \pi 2,k)=\int_0^{\frac\pi 2}\frac 1{\sqrt{1-k^2(\sin\varphi)^2}}{\rm d}\varphi 單振り子
周期$ T=\frac 4\omega K(k)=\frac 4\omega\int_0^{\frac\pi 2}\frac 1{\sqrt{1-k^2(\sin\varphi)^2}}{\rm d}\varphi\Doteq\frac{2\pi}\omega=2\pi\sqrt{\frac l g}
第二種橢圓積分
Jacobi の標準形$ E(z,k):=\int_0^z\sqrt{\frac{1-k^2t^2}{1-t^2}}{\rm d}t
Legendre の標準形$ E(z,k):=\int_0^z\sqrt{1-k^2(\sin\varphi)^2}{\rm d}\varphi
$ b E(z,1-\frac{a^2}{b^2})
第二種完全橢圓積分$ E(k):=E(\frac \pi 2,k)=\int_0^{\frac\pi 2}\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}{\rm d}\varphi 第三種橢圓積分
Jacobi の標準形$ \Pi(a;z,k):=\int_0^z\frac 1{(1-at^2)\sqrt{(1-t^2)(1-k^2t^2)}}{\rm d}t
Legendre の標準形$ \Pi(a;z,k):=\int_0^z\frac 1{(1-a(\sin\varphi)^2)\sqrt{1-k^2(\sin\varphi)^2}}{\rm d}\varphi
第三種完全橢圓積分$ \Pi(a;k):=\Pi(a;\frac\pi 2,k)
Weierstrass の標準形
第一種$ \wp_1(z,\{g_2,g_3\}):=\int_z^\infty\frac 1{\sqrt{4t^3-g_2 t-g_3}}{\rm d}t=\wp^{-1}(z,\{g_2,g_3\})
第二種$ \wp_2(z,\{g_2,g_3\}):=\int_z^c\frac t{\sqrt{4t^3-g_2 t-g_3}}{\rm d}t
$ \wp_2(z,\{g_2,g_3\})=\zeta(\wp_1(z,\{g_2,g_3\}),\{g_2,g_3\})-\zeta(\wp_1(c,\{g_2,g_3\}),\{g_2,g_3\})
Weierstrass の橢圓ζ函數$ -\zeta'(z,\{g_2,g_3\})=\wp(z,\{g_2,g_3\})
微分すると$ \wpに成る
第三種$ \wp_3(z,a,\{g_2,g_3\}):=\int_z^\infty\frac 1{(t-a)\sqrt{4t^3-g_2 t-g_3}}{\rm d}t
$ \wp_3(z,a,\{g_2,g_3\})=\eta(0,a,\{g_2,g_3\})-\eta(\wp_1(z,\{g_2,g_3\}),a,\{g_2,g_3\})
Weierstrass の橢圓σ函數$ \frac{\rm d}{{\rm d}z}\log(\sigma(z,\{g_2,g_3\}))=\frac{\sigma'(z,\{g_2,g_3\})}{\sigma(z,\{g_2,g_3\})}=\zeta(z,\{g_2,g_3\})
$ \alpha:=\wp_1(a,\{g_2,g_3\})
$ \eta(z,a,\{g_2,g_3\}):=\frac 1{\wp'(\alpha,\{g_2,g_3\})}\left(2z\zeta(\alpha,\{g_2,g_3\})+\log\frac{\sigma(z-\alpha,\{g_2,g_3\})}{\sigma(z+\alpha,\{g_2,g_3\})}\right)