Γ函數
gamma function。第二種 Euler 積分 (Euler integral of the second kind)
積分表示$ \Gamma(z):=\int_0^\infty t^{z-1}e^{-t}dt,$ {\frak R}z>0
$ \Gamma(z):=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^n(z+k)}.
函數等式$ \Gamma(z+1)=z\Gamma(z)
Bohr-Mollerups の定理
階乘 (factorial)
Stirling の公式
$ \log n!=n\log n-n+O(\log n)
$ n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac n e\right)^n
$ \sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n}\le n!\le en^{n+1/2}e^{-n}
$ \Gamma(z)\sim\sqrt{\frac{2\pi}z}\left(\frac z e\right)^z\quad(|\arg z|\le\pi-\varepsilon,|z|\to\infty)
polygamma function
$ \psi^{(n)}(z):=\frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}}\log\Gamma(z).
digamma function
$ \psi(z):=\frac d{dz}\log\Gamma(z)=\frac{\Gamma'(z)}{\Gamma(z)}.
第 1 種不完全Γ函數$ \gamma(z,x):=\int_0^x t^{z-1}e^{-t}dt
第 2 種不完全Γ函數$ \Gamma(z,x):=\int_x^\infty t^{z-1}e^{-t}dt
$ \gamma(z,x)+\Gamma(z,x)=\Gamma(z).
$ \Gamma_N(w|a_1,\dots,a_N):=e^{\frac\partial{\partial s}\zeta_N(s,w|a_1,\dots,a_N)|_{s=0}}.
Barnes のζ函數$ \zeta_N(s,w|a_1,\dots,a_N):=\sum_{n_1,\dots,n_N\ge 0}\frac 1{(w+n_1a_1+\dots+n_Na_N)^s} 函數等式$ G(z+1)=\Gamma(z)G(z)
hyper 階乘
p-進Γ函數$ \Gamma_p(s)
q-Γ函數$ \Gamma_q(z)
橢圓 Γ 函數