Β函數
beta function。第二種 Euler 積分 (Euler integral of the second kind)
積分表示$ \Beta(x,y):=\int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dt,$ {\frak R}x>0,$ {\frak R}y>0
Γ函數による表示$ \Beta(x,y)=\frac{\Gamma(x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)} 級數表示$ \Beta(x,y):=\frac 1 y\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(y)_{n+1}}{n!(x+n)}
無限乘積表示$ \Beta(x,y):=\frac{x+y}{xy}\prod_{n=1}^\infty\left(1+\frac{xy}{n(x+y+n)}\right)^{-1}
函數等式
$ x\Beta(x,y+1)=y\Beta(x+1,y).
$ \Beta(x,y)=\Beta(x+1,y)+\Beta(x,y+1).
$ (x+y)\Beta(x,y+1)=y\Beta(x,y).
$ \Beta(x,x)=2^{1-2x}\Beta\left(\frac 1 2,x\right).
$ \Beta(x,y)\Beta(x+y,z)=\Beta(y,z)\Beta(y+z,x)=\Beta(z,x)\Beta(z+x,y).
不完全Β函數 (incomplete beta function) Β分布
Selberg 積分 (Selberg integral)
q-Β函數