樣相論理
modal logic
公理系 E
公理 E :$ \frac{\Gamma\vdash x\lrarr y}{\Gamma\vdash\square x\lrarr\square y}
de Morgan 雙對 :$ \square x\lrarr\neg\lozenge\neg x,$ \lozenge x\lrarr\neg\square\neg xを導く 公理系 K
K : 最小の正規樣相論理
規則 N (必然化規則。necessitation rule) :$ \frac{\vdash x}{\vdash\square x}
公理 Def$ \lozenge:$ \lozenge p\lrarr\neg\square\neg p
公理 K (distribution axiom) :$ \square(x\to y)\to(\square x\to\square y)
體系 L に相當する
公理系 D
公理 D :$ \square x\to\lozenge x
serial$ \forall v\exist w(vRw)
公理系 T
公理 T (reflexivity axiom) :$ \square x\to x
公理系 B
公理 B :$ x\to\square\lozenge x
公理 4 :$ \square x\to\square\square x
公理系 S5 ではこれは定理
公理 5 :$ \lozenge x\to\square\lozenge x
直觀主義論理では遺傳性$ w\vDash x\to w\vDash\square xが成り立つ 意味論
一般化
述語樣相論理への擴張は、近傍層意味論 (neighborhood-sheaf semantics)
體系 L に對し完全である
公理 K$ \square(x\to y)\to(\square x\to\square y)の成り立たない論理に意味を定められる
動的意味論による檢査意味論 (test semantics) $ C\lbrack\Diamond\varphi\rbrack=\begin{cases}C & {\rm if}~C\lbrack\varphi\rbrack\ne\varnothing \\ \varnothing & {\rm otherwise}\end{cases}.
認識的矛盾原理 (epistemic contradiction principle)$ \varphi\land\neg\Diamond\varphi\vDash\botを成り立たせられる
Kripke frame だけでは、$ \forall v,w(vRw\to v=w)である時にのみ成り立つ。この時$ \Diamond\varphi\to\varphiも成り立つ 不可能と非必然とを區別できる
法 (mood)
樣相性 (modality)
擴張
應用