關聯論理
relevance logic、relevant logic、適切さの論理、關聯論理、關聯性の論理
適切さの論理 - Wikipedia
Relevance logic - Wikipedia
Relevance Logic (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
部分構造論理であり矛盾許容論理でもある
部分構造型として、關聯型 (relevance type) が有る
Substructural type system - Wikipedia#Relevant_type_system
實質含意 (material implication)
古典論理での含意$ p\to q\iff\neg p\lor q
實質含意の paradox (implicaitonal paradoxes)
Paradoxes of material implication - Wikipedia
$ \neg p\Vdash p\to q.
$ q\Vdash p\to q.
嚴密含意 (strict implication)
$ p\prec q\iff\square(\neg p\lor q).
外延的選言 (extensional disjunction) : 選言の導入$ p\Vdash p\lor qができる選言。實質含意を導く
內包的選言 (intensional disjunction) : 選言の導入規則が成り立たない選言
內包的選言の一つである$ p\lor_s q\iff\square(p\lor q)は嚴密含意$ p\prec q\iff \neg p\lor_s qを導く
嚴密含意の paradox
$ \square\neg p\Vdash p\prec q.
$ \square q\Vdash p\prec q.
嚴格含意 (regorous implication。strenge Implikation)
相關含意 (relevant implication)
變數共有 (variable-sharing)
內包的連言$ \circ
$ A\vDash B\to C\iff A\circ B\to C.
構造規則を frame 上で再現する
弱化 (增 W)$ \frac{A\vdash C}{A\circ B\vdash C}\iff xyRz\to x\le z
この弱化 (增 W)を制限する
轉置 (換 P)$ \frac{B\circ A\vdash C}{A\circ B\vdash C}\iff xyRz\to yxRz
縮約 (減 C)$ \frac{A\circ A\vdash C}{A\vdash C}\iff xxRx
體系 R
Relevance Logic > The Logic R (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
體系 B に以下を追加する
公理と、それに對應して Routley-Meyer frame に導入される規則
$ (A\to B)\to(\neg B\to\neg A),$ xyRz\to xz^*Ry^*推論規則を公理に
$ (A\to B)\land(B\to C)\to(A\to C),$ xyRz\to x(xy)Rz純粹假言三段論法
$ (A\to B)\to((B\to C)\to(A\to C)),$ wxtRz\to x(wy)Rz推論規則を公理に
$ (A\to B)\to((C\to A)\to(C\to B)),$ wxyRz\to w(xy)Rz推論規則を公理に
$ (A\to(A\to B))\to(A\to B),$ xyRz\to xyyRz
$ (A\land(A\to B))\to B,$ xxRxmodus ponens
$ (A\to\neg A)\to\neg A,$ xx^*Rx
$ (A\to(B\to C))\to(B\to(A\to C)).
$ A\to((A\to B)\to B),$ xyRz\to yxRzassertion
$ ((A\to A)\to B)\to B,$ x0Rx
$ A\lor\neg A,$ 0^*\le 0排中律
以下の公理は持たない
$ A\to(A\to A),$ xyRz\to x\le z\lor y\le z體系 R にこの公理を追加すると體系 RM になる
體系 B
Relevance Logic > The Logics \(\mathbf{B}, \mathbf{DJ}\), and \(\mathbf{DK}\) (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
最小な關聯論理
公理
$ A\to A同一律
$ A\land B\to A.
$ A\land B\to B.
$ (A\to B)\land(A\to C)\to(A\to B\land C).
$ A\to A\lor B.
$ B\to A\lor B.
$ (A\to C)\land(B\to C)\to(A\lor B\to C).
$ A\land(B\lor C)\to(A\land B)\lor(A\land C).
$ \neg\neg A\to A二重否定 (否定の否定) の除去
推論規則
$ A,A\to B\vdash B.
$ A,B\vdash A\land B.
$ A\to B\vdash(C\to A)\to(C\to B).
$ A\to B\vdash(B\to C)\to(A\to C).
$ A\to B\vdash\neg B\to\neg A.
Relevance Logic > The Logic S (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
Relevance Logic > The Logic NR (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
Relevance Logic > The Logic E (Stanford Encyclopedia of Philosophy)
意味論
Routley-Meyer 意味論 (三項關係意味論 (ternary relation semantics))
組$ (W,R,*,0)を Routley-Meyer frame とする
Routley-Meyer model$ M:=(W,R,*,0,\Vdash_M)は場所$ \in Wに於ける命題の附値を與へる
場所$ xで命題$ Aが眞である事を$ x\Vdash_M Aと書く
場所$ xで命題$ Aが僞である事を$ M,x\cancel{\Vdash_M}Aと書く
歸結關係$ \Vdash_Mは、全ての原子命題$ Aに就いて$ x\Vdash_M A且つ$ x\le yならば$ y\Vdash_M A
$ x\Vdash_M A\land B\iff x\Vdash_M A\land x\Vdash_M B.
$ x\Vdash_M A\lor B\iff x\Vdash_M A\lor x\Vdash_M B.
$ x\Vdash_M A\to B\iff\forall y,z(xyRz\land(y\Vdash_M A\to z\Vdash_M B)).
場所$ xで命題$ A\multimap Bが成り立つとは、三項關係$ xyRzを滿たす全ての場所$ y,zに於いて場所$ yで命題$ Aが成り立たない若しくは場所$ zで命題$ Bが成り立つ事$ x_{\in W}\vDash A\multimap B\iff \forall y,z_{\in W}(xyRz\land(y\vDash A\to z\vDash B))を言ふ
嚴密含意は Kripke frame である二項關係$ Kを用意して$ x_{\in W}\vDash A\prec B\iff\forall y_{\in W}(xKy\land(y\vDash A\to B))と意味附けできる
$ x\Vdash_M\neg A\iff x^*\Vdash_M A.
Kripke frame と同樣に、Routley-Meyer frame 上の關係の滿たす條件が論理の公理に對應する
de Morgan monoid に依る代數意味論
組$ (D,\land_{:D\times D\to D},\lor_{:D\times D\to D},\neg_{:D\to D},\circ_{:D\times D\to D},e_{\in D})を de Morgan monoid とする
含意を$ x\le(y\multimap z)\iff x\circ y\le zで定義できる
命題から de Morgan monoid$ Dへの對應$ vを以下で定義する
$ v(\neg A)=\neg v(A).
$ v(A\lor B)=v(A)\lor v(B).
$ v(A\land B)=v(A)\land v(B).
$ v(A\multimap B)=v(A)\multimap v(B).
命題$ Aが意味論的に妥當であるとは、體系から全ての de Morgan monoid への全ての對應$ vに於いて$ e\le v(A)が成り立つ事を言ふ
作用素意味論 (半束意味論)$ x_{\in K}\vDash A\multimap B\iff\forall y_{\in K}(y\vDash A\to x\circ y\vDash B)
Urquhart models
Humberstone models