一般化元
generalized element
圈$ \bf Cに於いて、$ xが對象$ X\in|{\bf C}|の一般化元である$ x\in_S Xであるとは、射$ x:S\to Xが在る事を言ふ 對象$ Sを形 (shape) と呼ぶ
$ x\in_S Xを、$ xは$ Xの$ S-元であると言ふ
射$ f:X\to Yが在れば、合成射$ f\circ x,$ S\xrightarrow{x}X\xrightarrow{f}Yが在る。この合成射はまた$ Yの一般化元$ f\circ x\in_S Yであり、$ f(x)\in_S Yと書く 外延性の公理$ \forall A,B_{\in|{\bf Set}|}(\forall x_{\in|{\bf Set}|}(x\in A\equiv x\in B)\supset A=B) 對象$ Xの一般化元の全體$ \{x|x\in_S X,S\in|{\bf C}|\}は米田埋め込み$ よ_X(\_)={\rm Hom}(\_,X):{\bf C}^{\rm op}\to{\bf Set}~\in|{\bf PSh}({\bf C})|と同一視できる 米田の補題$ \forall X,Y_{\in|{\bf C}|}(\forall S_{\in|{\bf C}|}(よ_X(S)\cong よ_Y(S))\supset X\cong Y)
例
寫像$ f:X\to Yへの代入$ f(x)\in Yと合成射とに全單射$ (f\circ x)\cong(f\to f(x))が在る 自明な群$ 1からの一般化元は單位元$ e:1\to Gである 圈$ \bf Cの群對象とは、對象$ X\in|{\bf C}|と、射$ \mu:X\times X\to X,$ \iota:X\to X,$ \eta:1\to Xの組で以下を滿たすものを言ふ 任意の對象$ S\in|{\bf C}|と、任意の一般化元$ x,y,z\in_S Xに對して、 $ \mu(\mu(x,y),z)=\mu(x,\mu(y,z))、つまり$ xy:=\mu(x,y)と略記すると$ (xy)z=x(yz)
$ \mu(\eta(S\to 1),x)=x=\mu(x,\eta(S\to 1))、つまり$ e:=\eta(S\to 1)と略記すると$ ex=x=xe
$ \mu(\iota(x),x)=\eta(S\to 1)=\mu(x,\iota(x))、つまり$ x^{-1}:=\iota(x)と略記すると$ x^{-1}x=e=xx^{-1}
$ f:X\to Yが mono 射であるとは、任意の一般化元$ a,b\in_S Xについて、もし$ f(a)=f(b)であるならば$ a=bである事$ \forall a,b_{\in_S X}(f(a)=f(b)\supset a=b)を、つまり左一意的 (left-unique)である事を言ふ 但し射影的對象$ Pが在る時、$ f:X\to Yが epi 射であるとは、任意の$ P-元$ a\in_P Yに對して$ f(b)=aとなる$ P-元$ b\in_P Xが存在する事$ \forall a_{\in_P Y}\exist b_{\in_P X}~f(b)=aを、つまり右全域的 (right-total)である事を言ふ 對象$ 1\in|{\bf C}|が終對象であるとは、任意の形$ S\in|{\bf C}|に對して任意の$ S-元$ a,b\in_S 1が$ a=bとなる事を言ふ 對象$ 0\in|{\bf C}|が始對象であるとは、任意の對象$ X\in|{\bf C}|に對して任意の$ 0-元$ a,b\in_0 Xが$ a=bとなる事を言ふ 一般化元の圈