圈
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圈$ \bf Cとは、對象 (object) の類 (class)$ |{\bf C}|と射 (morphism、arrow) の類 (class)$ {\rm Hom}_{\bf C}で、以下の公理を滿たすもの 射$ fは 域 (domain)$ {\rm dom}(f)\in|{\bf C}|と餘域 (codomain)$ {\rm cod}(f)\in|{\bf C}|を持つ
$ {\rm dom}(f)=aかつ$ {\rm cod}(f)=bの時$ f:a \to bと書く
射$ f,$ gは$ {\rm dom}(f)={\rm cod}(g)ならば合成射$ f \circ g\in{\rm Hom}_{\bf C}を持つ 合成射の結合律$ f \circ (g \circ h)=(f \circ g) \circ h 單に$ f \circ g \circ hと書く
全ての對象$ \forall a\in|{\bf C}|に對して恆等射$ \exist{\rm id}_a:a\to aが在り、全ての$ aへの射$ \forall f:-\to aに對して$ f\circ{\rm id}_a=fが、全ての$ aからの射$ \forall f:a\to -に對して$ {\rm id}_a\circ f=fが成り立つ 多重有向 graph (multidigraph)
圈とは,邊集合上に monoid っぽい構造を持つ多重有向 graph である. 〈graph〉(別称:圈,亜 monoid)≈ 多重有向 graph +(ほぼ)monoid 圈は對象が一つとは限らない monoid である。圈は多種化 (many sortize。亞化 (oidification)) した monoid、卽ち亞 monoid である 圈とは,多重有向 graph の path 上の合同關係による商〈graph〉のことであった. 多重有向 graph (multidigraph)$ (V,E):=\{x\xrightarrow{a}y|x,y\in V,a\in E\}と、monoid を成す path の結合$ \forall a_{\in V}\exist{1_a}_{\in E},$ a;bが在るとする path の同値關係$ =_{\subseteq E\times E}を以下で定める
$ =は同値關係
$ x\xrightarrow{a}yと$ x'\xrightarrow{a'}y'に就いて$ a=a'ならば$ x=x'且つ$ y=y'
$ x\xrightarrow{a=a'}y\xrightarrow{b=b'}zならば$ x\xrightarrow{a;b=a';b'}z
path の同値類を射と呼ぶ
函手と呼ぶ準同型$ F:(V,E)\to(V',E'):=({F_V}_{:V\to V'},{F_E}_{:E\to E'})を以下で定める $ x\xrightarrow{a}yならば$ F_V(x)\xrightarrow{F_E(a)}F_V(y)
$ F_V(x)\xrightarrow{1_{F_V(x)}=F_E(1_x)}F_V(x).
$ F_V(x)\xrightarrow{F_E(a)}F_V(y)\xrightarrow{F_E(b)}F_V(z)ならば$ F_V(x)\xrightarrow{F_E(a);F_E(b)=F_E(a;b)}F_V(z)
圈$ \bf Cが小さい (small) とは、$ |{\bf C}|と$ {\rm Hom}_{\bf C}とが共に集合である事を言ふ 圈$ \bf Cが局所的に小さい (locally small) とは、全ての對象$ \forall a,b_{\in|{\bf C}|}に對して$ {\bf C}(a,b)=\{f|f:a\to b\}が集合である事を言ふ この時$ {\bf C}(a,b)を Hom 集合 (Hom set。射集合) と呼ぶ。$ {\rm Hom}_{\bf C}(a,b)とも書く
射對象全體の成す圈が集合の圈に通常のデカルト積を備えた monoidal 圈となってゐるときを考へれば、その場合の豐饒圈、豐饒函手などは、通常の圈論における通常の定義に基づく、圈、函手などに歸着される。 通常の圈は集合の直積を monoid 演算として備へた集合の圈 (Set, ×, {•}) で豐饒化された圈である。 monoidal 圈$ ({\bf Set},\times,\{*\})に於いて$ {\bf C}(a,b)\times{\bf C}(b,c)={\bf C}(a,c)と成る事を言ふ 對象と射に依って定義されるもの
圈の圈
圈の圈$ \bf CAT
小さい圈の圈$ \bf Cat
射は寫像
對象をただ一つ持つ
詰まり、全ての$ \forall f \in \bf Homに對して$ \exist f^{-1} \in \bf{Hom}が存在し$ f \circ f^{-1}=f^{-1} \circ f={\rm id}を滿たす
對象は要素
射は要素の關係$ \leq
もう諦めない圈論入門