圈としての monoid、monoid の圈、monoidal 圈、monoid 對象の圈、monad

圈論初級の monoid っぽいの達を纏めた - c4se記：さっちゃんですよ☆

圈としての monoid (monoid as a category)

monoid を圈 (category) と見做せる。逆に圈を monoid の一般化と見做せる

臺集合 (underlying set) と演算の公理 (律) に依る古典的な定義。$ Mを臺集合とし、$ \cdot:M\times M\to Mを$ M上の閉じた二項演算、$ 1\in Mを單位 (unit) と呼べば、組$ (M,\cdot,1)が monoid であり、以下の律が成り立つ。記号の濫用で$ (M,\cdot,1)を單に$ Mとも書く

結合律 (associative law)$ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c

單位律 (unit law)$ 1\cdot a=a=a\cdot 1

單位は可換 (commutative) であるが、monoid 全體に可換律 (commutative law) は要求されない。滿たせば可換 monoid (commutative monoid) と呼ぶ

二つの monoid$ (M,\cdot,1),$ (M',\cdot',1')の閒に以下の條件を滿たす寫像$ f:M\to M'が在ればそれを$ Mから$ M'への monoid 準同型 (monoid homomorphism) と呼ぶ

結合を保つ$ f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)

單位を保つ$ f(1)=1'

群準同型では結合を保てば單位が保たれるが、monoid 準同型ではさうでないのでこれを要求する

全單射な monoid 準同型は monoid 同型 (monoid isomorphism) と呼ぶ。monoid 同型が在る時その二つの monoid は同型 (isomorphic)であると言ふ

半群 (semigroup) や群 (group) との關係

半群に單位律を要求すれば monoid

monoid に兩可逆律 (two-sided invertible; 可逆律) を要求すれば群

monoid が兩簡約律 (two-sided cancellative law; 簡約律 (cancellative law)) を滿たせば、この monoid から群を Grothendiec 群 (Grothendiec group) として構成出來る

簡約律を滿たす有限 monoid (臺集合$ Mの濃度 (cardinality) が有限) はそのまま群である

monoid の可逆な元を集めた部分 monoid は群である

忘卻函手$ \bf{Grp}\to\bf{Mon}の右隨伴

monoid に逆元を追加して群を作れる。これを Grothendiec 群 (Grothendiec group) と呼ぶ

忘卻函手$ \bf{Grp}\to\bf{Mon}の左隨伴

インデックス付き圏のグロタンディーク構成 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

monoid の演算を射の合成と見做すと、monoid を自然に圈と見做せる

對象 (object) の集まりを單元集合$ \{*\}とする

monoid$ (M,\cdot,1)の要素$ a,b,c,…を圈の射 (morphism; arrow) $ a:*\to*と見做せる

始域$ dom(a)=*

終域$ cod(a)=*

合成 (圖式順)$ a;b\coloneqq a\cdot bは結合律$ a;(b;c)=(a;b);cを滿たす

恒等射$ id\coloneqq1は恒等律$ 1;a=a,$ b;1=bを滿たす

monoid 準同型$ f:M\to M'は對象が一つである圈の閒の函手 (共變函手 (covariant functor)) である

對象の對應$ f(*)=*'

射の對應$ f(a)=a'

射の合成を保つ$ f(a;b)=f(a);f(b)

恒等射を保つ$ f(1)=1'

對象が一つである圈に於ける圈の公理は monoid の公理に等しいので、逆に對象が一つである圈を monoid と見做せる。これを monoid の定義とも出來る

水平な圈化

全ての射が同型射 (逆射を持つ) であればこれは群である

monoid$ (M,\cdot,1)を嚴密 monoidal 圈と見做せる

臺集合$ Mの要素を對象とする

射は恒等射のみで好い。使はないので他に射が有っても好い

二項演算$ \cdotを tensor 積とする

單位$ 1を嚴密 monoidal 圈の單位とする

結合律子は結合律$ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)である

左右の單位律子は單位律$ 1\cdot a=a,$ a\cdot 1=aである

律子の自然同型が恒等であるからこれは嚴密 monoidal 圈である

嚴密 monoidal 圈であるから二つの可換圖式は成り立つ

monoid 準同型は嚴密 monoidal 圈の閒の monoidal 函手である

結合律を保つ事は、結合律子を保つ事に等しい

單位律を保つ事は、單位律子を保つ事に等しい

嚴密 monoidal 圈の公理は monoid の公理に等しいので、逆に嚴密 monoidal 圈を monoid と見做せる。依ってこれを monoid の定義とも出來る。但し追加の射を持つかもしれない

monoid は集合と寫像の圈$ \bf Setで直積$ \timesを tensor 積とした時の monoid 對象である。これを monoid の定義とも出來る

$ \bf Setと直積は monoidal 圈を成す

直積は雙函手$ {\bf Set}\times{\bf Set}\to{\bf Set}である

對象の對應

集合$ A=\{a,…\},$ B=\{b,…\}に對して直積$ A\times B=\{(a,b),…\}を對應させる

射の對應

寫像$ f:A\to C,$ g:B\to Dに對して寫像$ (f\times g)((a,b))=(f(a),g(b)):A\times B\to C\times Dを對應させる

射$ f\times g:A\times B\to C\times D,$ h\times i:C\times D\to E\times Fの合成は$ ((f\times g);(h\times i))((a,b))=((f;h)(a),(g;i)(b))で與へる

射の合成の結合を保つ

.$ (((f\times g);(h\times i));(j\times k))((a,b))=

$ (j\times k)((f;h)(a),(g;i)(b))=

$ (((f;h);j)(a),((g;i);k)(b))=

$ ((f;(h;j))(a),(g;(i;k))(b))=

$ ((h\times i);(j\times k))(f(a),g(b))=

$ ((f\times g);((h\times i);(j\times k)))((a,b))

恒等射を保つ$ (id_A\times id_B)((a,b))=(id_A(a),id_B(b))=(a,b)=id_{A\times B}((a,b))

單元集合を單位とする。全ての單元集合は同型である

單元集合$ \{*\},$ \{*'\}の閒には唯一つの寫像$ f(*)=*'が在る。この逆寫像は$ f^{-1}(*')=*であり、$ (f;f^{-1})(*)=f^{-1}(*')=*=id_*(*),$ (f^{-1};f)(*')=f(*)=*'=id_{*'}(*')であるから$ f,$ f^{-1}は同型射である。故に$ \{*\},$ \{*'\}は同型であり、全ての單元集合は同型である

函手$ F:({\bf Set}\times{\bf Set})\times{\bf Set}\to{\bf Set},F(((a,b),c))=((a,b),c),F((f\times g)\times h)=(f\times g)\times h,$ G:{\bf Set}\times({\bf Set}\times{\bf Set})\to{\bf Set},G((a,(b,c)))=(a,(b,c)),G(f\times(g\times h))=f\times(g\times h)の閒の自然變換$ \alpha:((x,y),z)\simeq(x,(y,z))を結合律子と出來、自然同型である

$ \alphaは自然變換である。$ F((f\times g)\times h);\alpha=\alpha;G(f\times(g\times h))

$ \alphaの成分 (component) は同型射である。$ \alpha(((x,y),z))=(x,(y,x))に對して$ \alpha^{-1}((x,(y,z)))=((x,y),z)である

函手$ F:{\bf Set}\to{\bf Set},F(A)=\{*\}\times A,F(f)=id_{\{*\}}\times f,$ id_{\bf Set}:{\bf Set}\to{\bf Set}の閒の自然變換$ snd((*,-))=-を左單位律子と出來、自然同型である

$ sndは自然變換である。寫像$ f:A\to B,f(a)=bの時、$ (F(f);snd_B)((*,a))=((id_{\{*\}}\times f);snd_B)((*,a))=snd_B((*,b))=b=f(a)=(id_{\bf Set}(f))(a)=(snd_A;id_{\bf Set}(f))((*,a))

$ sndの成分は同型射である。$ snd^{-1}(-)=(*,-)である

函手$ F:{\bf Set}\to{\bf Set},F(A)=A\times\{*\},F(f)=f\times id_{\{*\}},$ id_{\bf Set}:{\bf Set}\to{\bf Set}の閒の自然變換$ fst((-,*))=-を右單位律子と出來、自然同型である

$ sndと同樣

五角形の可換圖式

$ ((A\times B)\times C)\times D\to_{\alpha\times id}(A\times(B\times C))\times D,

$ (A\times(B\times C))\times D\to_\alpha A\times((B\times C)\times D),

$ A\times((B\times C)\times D)\to_{id\times\alpha}A\times(B\times(C\times D)).

$ ((A\times B)\times C)\times D\to_\alpha(A\times B)\times(C\times D),

$ (A\times B)\times(C\times D)\to_\alpha A\times(B\times(C\times D)).

$ \alphaが順番を入れ換へるだけなので、始域・終域が合ってゐれば可換

三角形の可換圖式

$ (A\times\{*\})\times B\to_\alpha A\times(\{*\}\times B),

$ A\times(\{*\}\times B)\to_{id\times snd}A\times B.

$ (A\times\{*\})\times B\to_{fst\times id}A\times B.

見て解って

monoid$ (M,\cdot,1)は圈$ \bf Setの monoid 對象である

集合$ Mは圈$ \bf Setの對象である

二項演算$ \cdot:M\times M\to Mを乘法とする

單元集合から單位への射$ \eta:\{*\}\to1を單位射とする

五角形の可換圖式

$ ((a,b),c)\to_\alpha (a,(b,c))\to_{id\times\cdot}(a,b\cdot c)\to_\cdot a\cdot(b\cdot c).

$ ((a,b),c)\to_{\cdot\times id}(a\cdot b,c)\to_\cdot(a\cdot b)\cdot c.

$ \cdotは monoid の積だと前提してゐるので$ a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot cであるから、これは可換

單位律子圖式

$ (\{*\},1)\to_{\eta\times id}(1,1)\larr_{id\times\eta}(1,\{*\}),

$ (1,1)\to_\cdot1.

$ (\{*\},1)\to_{snd}1\larr_{fst}(1,\{*\}).

monoid 準同型$ f:(M,\cdot,1=cod(\eta))\to(M',\cdot',1'=cod(\eta'))は monoid 射である

乘法の保存$ (\cdot;f)((a,b))=f(a\cdot b)=f(a)\cdot'f(b)=((f\times f);\cdot')((a,b))

單位射の保存$ (\eta;f)(\{*\})=f(1)=1'=\eta'(\{*\})

monoidal 圈$ \bf Setの monoid 對象$ (M,\mu,\eta)は monoid である

臺集合は集合$ M

二項演算は乘法$ \mu:M\times M\to M

單位は單位射の終域$ cod(\eta)=\eta(\{*\})\in M

結合律

五角形の可換圖式$ ((a,b),c)\to_\alpha (a,(b,c))\to_{id\times\mu}(a,\mu((b,c)))\to_\mu\mu((a,\mu((b,c)))),$ ((a,b),c)\to_{\mu\times id}(\mu((a,b)),c)\to_\mu\mu((\mu((a,b)),c))に依り$ \mu((a,\mu((b,c))))=\mu((\mu((a,b)),c))

單位律

單位律子圖式に依り

$ (*,a)\to_{\eta\times id}(cod(\eta),a)\to_\mu\mu((cod(\eta),a)),$ (*,a)\to_{snd}a依り$ \mu((cod(\eta),a))=a

$ (a,*)\to_{id\times \eta}(a,cod(\eta))\to_\mu\mu((a,cod(\eta))),$ (a,*)\to_{fst}a依り$ \mu((a,cod(\eta)))=a

monoid 射$ f:(M,\mu,\eta)\to(M',\mu',\eta')は monoid 準同型である

結合を保つ$ f(\mu((a,b)))=(\mu;f)((a,b))=((f\times f);\mu')((a,b))=\mu'((f(a),f(b)))

單位を保つ$ f(cod(\eta))=(\eta;f)(\{*\})=\eta'(\{*\})=cod(\eta')

monoid の圈 (category of monoids)

全ての monoid を對象とし、monoid 準同型を射とする圈。一般に$ \bf Monと書く

category of monoids in nLab

全ての monoid を對象とし、全ての monoid 準同型を射とした集まりは圈$ \bf Monを成す

準同型$ f:M\to M'に就いて、始域$ dom(f)=M、終域$ cod(f)=M'

準同型$ f:M\to M',$ g:M'\to M''の合成$ f;g:M\to M''は準同型である

結合を保つ$ (f;g)(a\cdot b)=g(f(a\cdot b))=g(f(a)\cdot'f(b))=g(f(a))\cdot''g(f(b))=(f;g)(a)\cdot''(f;g)(b)

單位を保つ$ (f;g)(1)=g(f(1))=g(1')=1''

準同型$ f:M_0\to M_1,$ g:M_1\to M_2,$ h:M_2\to M_3の合成は結合律$ (f;g);h=f;(g;h)を滿たす

$ f(a_0)=a_1とする。$ gは準同型であるから$ g(a_1)は存在しこれを$ a_2とする。同じく$ h(a_2)=a_3とする。$ ((f;g);h)(a_0)=h((f;g)(a_0))=h(g(f(a_0)))=h(g(a_1))=h(a_2)=a_3。更に$ (f;(g;h))(a_0)=(g;h)(f(a_0))=h(g(f(a_0)))=h(g(a_1))=h(a_2)=a_3。故に

恒等寫像$ id:M\to Mは準同型であり、恒等射である

結合を保つ$ id(a\cdot b)=a\cdot b=id(a)\cdot id(b)

單位を保つ$ id(1)=1

準同型$ f:M\to M'と$ g:M'\to Mに就いて、恒等律$ id;f=f,$ g;id=gを滿たす

$ f(a)=a'とすると、$ (id;f)(a)=f(id(a))=f(a)=a'

$ g(a')=aとすると、$ (g;id)(a')=id(g(a'))=id(a)=a

monoidal 圈$ \bf Setの monoid 對象の圈$ {\bf Mon}({\bf Set})は monoid の圈$ \bf Monである

monoidal 圈 (monoidal category、tensor 圈 (tensor category))

對象閒に自然同型 (naturally isomorphic) の違ひを除いて monoid の樣な關係が成り立つ圈を monoidal 圈と呼ぶ

モノイド圏 - Wikipedia

monoidal category in nLab

圈$ \bf Cが tensor 積 (tensor product) と呼ばれる雙函手 (bifunctor; binary functor; 二項函手) $ \otimes:{\bf C}\times{\bf C}\to{\bf C}、單位 (unit) と呼ばれる對象$ 1(同型の違ひを除く (up to iso))、結合律子 (associator) と呼ばれる自然同型$ \alpha_{x,y,z}:(x\otimes y)\otimes z\simeq x\otimes(y\otimes z)、それぞれ左單位律子 (left unitor)、右單位律子 (right unitor)と呼ばれる自然同型$ \lambda_x:1\otimes x\simeq x,$ \rho_x:x\otimes1\simeq xを持つ時、組$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)を monoidal 圈と呼び、以下の可換圖式 (commutative diagram) を滿たす。記号の濫用で單に$ \bf Cとも書く

雙函手$ F:{\bf C}\times{\bf D}\to{\bf E}とは圈の積 (product) からの函手 (functor) を言ふ

圈の積は圈の圈$ \bf Catでの圈論的積

五角形の可換圖式 (pentagon identity; pentagon equation)$ (\alpha_{w,x,y}\otimes id_z);\alpha_{w,x\otimes y,z};(id_w\otimes\alpha_{x,y,z})=\alpha_{w\otimes x,y,z};\alpha_{w,x,y\otimes z}

$ ((w\otimes x)\otimes y)\otimes z\to_{\alpha_{w,x,y}\otimes id_z}(w\otimes(x\otimes y))\otimes z\to_{\alpha_{w,x\otimes y,z}}w\otimes((x\otimes y)\otimes z)\to_{id_w\otimes\alpha_{x,y,z}}w\otimes(x\otimes(y\otimes z)).

$ ((w\otimes x)\otimes y)\otimes z\to_{\alpha_{w\otimes x,y,z}}(w\otimes x)\otimes(y\otimes z)\to_{\alpha_{w,x,y\otimes z}}w\otimes(x\otimes(y\otimes z)).

三角形の可換圖式 (triangle identity)。左右の單位律に當たる$ \alpha_{x,1,y};(id_x\otimes\lambda_y)=\rho_x\otimes id_y

$ (x\otimes1)\otimes y\to_{\alpha_{x,1,y}}x\otimes(1\otimes y)\to_{id_x\otimes\lambda_y}x\otimes y.

$ (x\otimes1)\otimes y\to_{\rho_x\otimes id_y}x\otimes y.

tensor 積の構造 (單位と三つの自然同型と二つの可換圖式) を保つ函手を momoidal 函手 (monoidal functor) と呼ぶ

monoidal 圈の結合律子$ \alpha、單位律子$ \lambda,$ \rhoが恒等變換であるものを嚴密 monoidal 圈 (strict monoidal category; 強 monoidal 圈) と呼ぶ

嚴密 monoidal 圈では各々の律子があれば二つの可換圖式は必ず成り立つ

嚴密 monoidal 圈は、圈論的積を tensor 積とするmonoidal 圈としての圈の圈$ \bf Catに於ける monoid 對象である

嚴密 monoidal 圈は餘分な射を除いて monoid と同一視出來るから、monoid と$ \bf Setの關係が、嚴密 monoidal 圈と$ \bf Catの關係に相似である。これは集合 (0-圈) に射を追加すると圈 (1-圈) に成る事に相當する

monoidal 圈は、ただ一つの對象$ *のみを持つ雙圈 (bicategory; weak 2-category) $ \bf Bの射對象圈$ {\bf B}(*,*)と見做せる。これを monoidal 圈の定義とも出來る (水平な圈化)

Bicategory - Wikipedia

bicategory in nLab

Bicategory

雙圈$ Bは以下の三つの集まりから成る

對象或いは 0-胞 (0-cell) と呼ばれるものの集まり$ a,b,…\in Ob_B

0-胞と 1-胞の集まりは圈とは限らない

0-胞$ aに於ける恒等 1-胞を$ id_aと書き、左右の單位律子と關係する

對象閒の射或いは 1-胞 (1-cell) と呼ばれるものの集まり$ f,g,…\in {\bf B}(a,b)

$ B(a,b)は 1-胞を對象とし 2-胞を射とする圈を成す。この圈での 2-胞の合成を垂直合成 (vertical composition) と呼ぶ

2-胞$ f\Rarr_\eta g\Rarr_\theta h:a\to bの合成を圖式順で$ \eta;\theta:f\Rarr hと書く。垂直合成は圈$ {\bf B}(a,b)の結合律$ (\eta;\theta);\iota=\eta;(\theta;\iota)を滿たす

1-胞$ f:a\to bに於ける恒等 2-胞を$ Id_fと書き、圈$ {\bf B}(a,b)の單位律を滿たす、詰まり 2-胞$ \eta:f\Rarr gに對して$ Id_f;\eta=\eta=\eta;Id_g

二つの 1-胞の圈$ {\bf B}(a,b),$ {\bf B}(b,c)に雙函手$ {\bf B}(a,b)\times{\bf B}(b,c)\to{\bf B}(a,c)が有り、水平合成 (horizontal composition) と呼ぶ

1-胞$ a\to_f b\to_g cの合成を圖式順で$ f;g:a\to cと書く。これは雙函手に於ける對象閒の對應である

始域と終域を同じくする 1-胞$ f,g:a\to bの閒の 2-射或いは 2-胞 (2-cell) と呼ばれるものの集まり$ {\bf B}(f,g)

髯 (whiskering)

1-胞$ f,g:a\to b,$ h:b\to cと 2-胞$ \eta:f\Rarr gに對して左髯 (left whiskering) と呼ばれる 2-胞$ h\lhd\eta:f;h\Rarr g;hが存在するならば以下が成り立つ

反圖式順では$ h\lhd\eta:h\circ f\Rarr h\circ gと、「左」っぽく見える。反圖式順なのダルいから圖式順にしたいな…

商群 (quotient group) と同じ記号だなぁ。關係有るか無いか (多分無い)

商圈 (quotient category) ね…

1-胞$ f:a\to b,$ g:b\to cに對して$ g\lhd Id_f=Id_{f;g}を滿たす

2-胞$ f\Rarr_\eta g\Rarr_\theta h:a\to bと 1-胞$ i:b\to cに對して$ (i\lhd\eta);(i\lhd\theta)=i\lhd(\eta;\theta)を滿たす

1-胞$ f:a\to b,$ g,h:b\to cと 2-胞$ \eta:g\Rarr hに對して右髯 (right whiskering) と呼ばれる 2-胞$ \eta\rhd f:f;g\Rarr f;hが存在するならば以下が成り立つ

1-胞$ f:a\to b,$ g:b\to cに對して$ Id_g\rhd f=Id_{f;g}を滿たす

1-胞$ f:a\to bと 2-胞$ g\Rarr_\eta h\Rarr_\theta i:b\to cに對して$ (\eta\rhd f);(\theta\rhd f)=(\eta;\theta)\rhd fを滿たす

2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to b,$ \theta:h\Rarr i:b\to cに對して$ (\theta\rhd f);(i\lhd\eta)=(h\lhd\eta);(\theta\rhd g)を滿たす

單位律子 (unitor)

1-胞$ f:a\to bに對して左單位律子 (left unitor) と呼ばれる 2-胞$ \lambda_f:f;id_b\Rarr fと逆左單位律子 (inverse left unitor) と呼ばれる 2-胞$ \lambda^{-1}_f:f\Rarr f;id_bが存在し以下が成り立つ

2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to bに對して$ (id_b\lhd\eta);\lambda_g=\lambda_f;\etaを滿たす

1-胞$ f:a\to bに對して$ \lambda_f;\lambda^{-1}_f:f;id_b\Rarr f;id_b=Id_?=\lambda^{-1}_f;\lambda_f:f\Rarr fを滿たす

1-胞$ f:a\to bに對して右單位律子 (right unitor) と呼ばれる 2-胞$ \rho_f:id_a;f\Rarr fと逆右單位律子 (inverse right unitor) と呼ばれる 2-胞$ \rho^{-1}_f:f\Rarr id_a;fが存在し以下が成り立つ

2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to bに對して$ (\eta\rhd id_a);\rho_g=\rho_f;\etaを滿たす

1-胞$ f:a\to bに對して$ \rho_f;\rho^{-1}_f:id_a;f\Rarr id_a;f=Id_?=\rho^{-1}_f;\rho_f:f\Rarr fを滿たす

結合律子 (associator)

1-cell$ f:a\to b,$ g:b\to c,$ h:c\to dに對して結合律子と呼ばれる 2-胞$ \alpha_{f,g,h}:f;(g;h)\Rarr(f;g);hと逆結合律子 (inverse associator) と呼ばれる 2-胞$ \alpha^{-1}_{f,g,h}:(f;g);h\Rarr f;(g;h)が存在し以下が成り立つ

1-胞$ a\to_f b\to_g cと 2-胞$ \eta:h\Rarr i:c\to dに對して$ \alpha_{f,g,h};((\eta\rhd g)\rhd f)=(\eta\rhd(f;g));\alpha^{-1}_{f,g,i}を滿たす

1-胞$ f:a\to bと 2-胞$ \eta:g\Rarr h:b\to cと 1-胞$ i:c\to dに對して$ \alpha^{-1}_{f,g,i};((i\lhd\eta)\rhd f)=(i\lhd(\eta\rhd f));\alpha^{-1}_{f,h,i}を滿たす

2-胞$ \eta:f\Rarr g:a\to bと 1-胞$ b\to_h c\to_i dに對して$ \alpha^{-1}_{f,h,i};((h;i)\lhd\eta)=(i\lhd(h\lhd\eta));\alpha^{-1}_{g,h,i}を滿たす

1-胞$ a\to_f b\to_g c\to_h dに對して$ \alpha_{f,g,h};\alpha^{-1}_{f,g,h}:f;(g;h)\Rarr f;(g;h)=Id_?=\alpha^{-1}_{f,g,h};\alpha_{f,g,h}:(f;g);h\Rarr (f;g);hを滿たす

1-胞$ a\to_f b\to_g\to cに對して$ \alpha^{-1}_{f,id_b,g};(\rho_g\rhd f)=g\lhd\lambda_fを滿たす

1-胞$ a\to_f b\to_g c\to_h d\to_i eに對して$ (i\lhd\alpha^{-1}_{f,g,h});(\alpha^{-1}_{i,g;h,f};(\alpha^{-1}_{g,h,i}\rhd f))=\alpha^{-1}_{f;g,h,i};\alpha^{-1}_{f,g,h;i}を滿たす

單位律子と結合律子が恒等 2-胞$ Idである時、雙圈を 2-圈 (2-category; strict 2-category) と呼ぶ。圈の圈$ \bf Catは圈を 0-胞、函手を 1-胞、自然變換を 2-胞とした 2-圈である

0-胞が一つ$ *のみである雙圈$ \bf Bの 1-胞と 2-胞に依る圈$ {\bf B}(*,*)は monoidal 圈である

1-胞の垂直合成を tensor 積とする

恒等 1-胞$ id_*を單位とする

結合律子がそのまま monoidal 圈の結合律子である

左右の單位律子がそのまま monoidal 圈の左右の單位律子である

monoidal 圈を 0-胞が一つ$ *のみである雙圈$ \bf Bの 1-胞と 2-胞に依る圈$ {\bf B}(*,*)と見做せる

對象を 1-胞とし、射を 2-胞とする。此れ等は圈を成す

射の合成を 2-胞の垂直合成とする

tensor 積$ \otimesを 1-胞の合成 (水平合成の要素) とする

單位を恒等 1-胞$ id_*とする

結合律子を雙圈の結合律子とする

左右の單位律子を雙圈の左右の單位律子とする

左右の髯は$ f:a\to bに對して$ c\lhd f:a\otimes c\to b\otimes c,$ f\rhd c:c\otimes a\to c\otimes b等として自然に表はされる

圈に對する monoid の關係が、雙圈に對する monoidal 圈の關係に類比される

monoidal 圈全體は monoidal 函手を射として圈を成す

恒等函手は monoidal 函手

monoidal 函手の水平合成は復た monoidal 函手

終對象$ Tと圈論的積の有る$ \forall_{|{\bf C}|}x,y\exist_{|{\bf C}|}x\times y圈$ \bf Cは monoidal 圈$ ({\bf C},\times,T)であるか?

tensor 積は圈論的積$ \times

單位は終對象$ T

終對象は同型を除いて一意

結合律子$ \alpha_{x,y,z}:(x\times y)\times z\simeq x\times(y\times z)

兩邊は同型

ちゃんと自然同型を作って?

單位律子$ \lambda_x:T\times x\simeq x,$ \rho_x:x\times T\simeq x

$ T\times x,$ x\times Tは存在するので、$ xと同型

ちゃんと自然同型を作って?

五角形の可換圖式

三角形の可換圖式

始對象$ Iと余積の有る$ \forall_{|{\bf C}|}x,y\exist_{|{\bf C}|}x+y圈$ \bf Cは monoidal 圈$ ({\bf C},+,I)であるか?

tensor 積は余積$ +

單位は始對象$ I

始對象は同型を除いて一意

結合律子$ \alpha_{x,y,z}:(x+y)+z\simeq x+(y+z)

單位律子$ \lambda_x:I+x\simeq x,$ \rho_x:x+I\simeq x

五角形の可換圖式

三角形の可換圖式

monoid 對象の圈 (category of monoid objects)

momoidal 圈$ \bf Cの monoid 對象全體と monoid 射の全體は圈$ \bf Mon(\bf C)を成す

モノイド対象 - Wikipedia#モノイド対象の圏

monoid in a monoidal category in nLab

monoidal 圈$ ({\bf C},\otimes,1,\alpha,\lambda,\rho)の對象$ M、乘法と呼ぶ射$ \mu:M\otimes M\to M、單位射と呼ぶ射$ \eta:1\to Mの組$ (M,\mu,\eta)が monoid 對象であるとは、此れ等が以下の可換圖式を滿たす事を言ふ。記号の濫用で單に$ Mとも書く

五角形の可換圖式。結合律に當たる$ \alpha;(id\otimes\mu);\mu=(\mu\otimes id);\mu

$ (M\otimes M)\otimes M\to_\alpha M\otimes(M\otimes M)\to_{id\otimes\mu}M\otimes M\to_\mu M.

$ (M\otimes M)\otimes M\to_{\mu\otimes id}M\otimes M\to_\mu M.

單位律子圖式。單位律に當たる$ (\eta\otimes id);\mu=\lambda,$ (id\otimes\eta);\mu=\rho

$ 1\otimes M\to_{\eta\otimes id}M\otimes M\larr_{id\otimes\eta}M\otimes 1,

$ M\otimes M\to_\mu M.

$ 1\otimes M\to_\lambda M\larr_\rho M\otimes1.

monoid 對象$ (M,\mu,\eta),$ (M',\mu',\eta')が在る時、圈$ \bf Cの射$ f:M\to M'は以下の可換圖式を滿たす時に monoid 射 (morphism of monoids; monoid morphism) と呼ぶ。これは monoid 準同型の類似である

乘法の保存$ \mu;f=(f\otimes f);\mu'

$ M\otimes M\to_{f\otimes f}M'\otimes M'\to_{\mu'}M'.

$ M\otimes M\to_\mu M\to_f M'.

單位射の保存$ \eta;f=\eta'

$ 1\to_\eta M\to_f M'.

$ 1\to_{\eta'}M'.

monoid 射の合成と恒等射を定義出來、結合律と單位律を滿たす。從ってこれは圈である

monoid 射$ f:(M_0,\mu_0,\eta_0)\to(M_1,\mu_1,\eta_1),$ g:(M_1,\mu_1,\eta_1)\to(M_2,\mu_2,\eta_2)の合成$ f;gは monoid 射である

乘法の保存$ \mu_0;(f;g)=(\mu_0;f);g=((f\otimes f);\mu_1);g=(f\otimes f);(\mu_1;g)=(f\otimes f);((g\otimes g);\mu_2)=((f\otimes f);(g\otimes g));\mu_2=((f;g)\otimes(f;g));\mu_2

單位射の保存$ \eta_0;(f;g)=(\eta_0;f);g=\eta_1;g=\eta_2

圈$ \bf Cの射の合成は結合律を滿たすから monoid 射の合成も結合律を滿たす

monoid 對象$ Mの恒等射$ id_Mは monoid 射である

乘法の保存$ \mu;id_M=\mu,$ (id_M\otimes id_M);\mu=\mu

單位射の保存$ \eta;id_M=\eta

圈$ \bf Cの恒等射は單位律を滿たすから monoid 射としての恒等射も單位律を滿たす

monad (monad、triple)

モナド (圏論) - Wikipedia

monad in nLab

圈$ \bf C上の恒等函手を$ 1_{\bf C}と書く。圈$ \bf C上の monad とは自己函手$ T:{\bf C}\to{\bf C}と自然變換$ \eta:1_{\bf C}\Rarr T,$ \mu:(T;T)\Rarr Tの組$ (T,\eta,\mu)であり、以下の可換圖式 (coherence 條件) を滿たす

$ (T\mu);\mu=(\mu T);\mu。但し$ T\muとは各對象$ x\in|{\bf C}|に就いて自然變換$ \muの成分$ \mu_xを函手$ Tに依って移した射$ T(\mu_x)を成分とした自然變換であり、$ \mu Tとは各對象$ x\in|{\bf C}|に就いて自然變換$ \muの對象$ T(x)に於ける成分$ \mu_{T(x)}を成分とした自然變換である

$ T;T;T\to_{T\mu}T;T\to_\mu T,

$ T;T;T\to_{\mu T}T;T\to_\mu T.

結合律の類似

$ (T\eta);\mu=(\eta T);\mu=1_T。但し$ 1_Tは函手$ T上の恒等自然變換

$ T\to_{\eta T}T;T\to_\mu T,

$ T\to_{T\eta}T;T\to_\mu T,

$ T\to_{1_T}T.

單位律の類似

函手の隨伴との關係。或る monad は何らかの隨伴對$ F\dashv Gを合成した自己函手$ F;Gから成る。この分解は一般に一意ではない

モナドの分解の比較定理 - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

モナドの随伴系への分解の全体は圏をなす

クライスリ圏による分解（以下、クライスリ分解〈Kleisli resolution〉とアイレンベルク／ムーア圏による分解（以下、アイレンベルク／ムーア分解〈Eilenberg-Moore resolution〉）は、何か特殊な地位を占めている印象がありますが、モナドTの分解の圏 Resol(T) のなかで、ぞれぞれ始対象、終対象になっています。

Kleisli 圈

クライスリ圏 - Wikipedia

Kleisli category in nLab

Eilenberg-Moore category in nLab

隨伴對$ F\dashv Gの合成$ F;Gは monad を構成する

monad は圈$ \bf Cの自己函手の圈$ {\bf End}_{\bf C}の monoid 對象である

$ {\bf End}_{\bf C}は圈である

對象は圈$ \bf C上の自己函手

射は自己函手の閒の自然變換

自己関手の合成からモノイダル圏の構造が誘導される。

雙圈での定義

モナド論をヒントに圏論をする（弱2-圏の割と詳しい説明付き） - 檜山正幸のキマイラ飼育記 (はてなBlog)

自明な2-圏から2-圏CATへのラックス2-関手である

モナドは随伴関手の理論で使われ、半順序集合上の閉包作用素を任意の圏の上へ一般化する。

半順序集合 (P, \le) から生成される圏（対象が P の元であり、x \le y が成り立つとき x から y へ射が1つ与えられる）を特別に考えると、随伴の対は Galois 接続（en:Galois connection）、モナドは閉包作用素（en:closure operator）という単純な対応が取れる。

monad の圈

programming に於ける monad

モナド (プログラミング) - Wikipedia

しかし、関数型プログラミングの文脈におけるモナドは通常は圏論における強モナドを指すことが多い。

Strong monad - Wikipedia

strong monad in nLab

monad (in computer science) in nLab

Kleisli triple

code:unit と bind に依る定義.hs

unit :: x -> M x

bind :: M x -> (x -> M y) -> M y

-- 律