集合
set
集合論
ZFC 集合論 (Zermelo–Fraenkel-choice set theory)
集合論とはなにか? 自然數の全體 N を調べる理論を自然數論というのと同じように,集合論とはすべての集合のなす宇宙 V の構造を調べる理論である.この宇宙 V は代數や微積分などあらゆる數學の展開に充分なほど廣大であることが知られてゐる.本ノートは現代數學の標準言語でもある公理的集合論 ZFC を紹介する.ZFC 公理系は第 2 節で說明するが,ZFC をはじめて讀む人のために役立つことを願って,ZFC 公理系のこころを本節にまとめてみた.お役にたてばさいわいである. 外延性の公理 (axiom of extensionality) 二つの集合が等しい事$ A=Bを次で定義する。$ \forall A\forall B(\forall x(x\in A\iff x\in B)\implies A=B) 空集合の公理 (axiom of empty set)
次を滿たす空集合$ \varnothingが存在する。$ \exist\varnothing\forall x(x\notin\varnothing) 對の公理 (axiom of pairing)
$ x,yに就いて次を滿たす對$ \lbrace x,y\rbraceが存在する。$ \forall x\forall y\exist\lbrace x,y\rbrace\forall t(t\in\lbrace x,y\rbrace\iff(t=x\lor t=y))
和集合の公理 (axiom of union)
集合$ Xに就いて次を滿たす和集合$ \bigcup Xが存在する。$ \forall X\exist\bigcup X\forall t(t\in\bigcup X\iff\exist x_{\in X}(t\in x)) $ \bigcup\lbrace x,y\rbraceを$ x\cup yと書く
無限公理 (axiom of infinity)
次を滿たす無限集合$ Aが存在する。$ \exist A(\varnothing\in A\land\forall x_{\in A}(x\cup\lbrace x\rbrace\in A))
冪集合公理 (axiom of power set)
集合$ Xに就いて次を滿たす冪集合$ 2^Xが存在する。$ \forall X\exist 2^X\forall t(t\in 2^X\iff t\subseteq X) 置換公理圖式 (axiom schema of replacement)
論理式$ \psiに就いての公理圖式。$ \forall x\forall y\forall z((\psi(x,y)\land\psi(x,z))\implies y=z)\implies\forall X\exist A\forall y(y\in A\iff\exist x_{\in X}\psi(x,y)).
分出公理圖式 (axiom of comprehension)
論理式$ \psiに就いての公理圖式。$ Xと$ \lbrace x_{\in X}|\psi(x)\rbraceを自由變數としない論理式$ \psiに就いて次を滿たす集合$ \lbrace x_{\in X}|\psi(x)\rbraceが存在する。$ \forall X\exist\lbrace x_{\in X}|\psi(x)\rbrace\forall x(x\in\lbrace x_{\in X}|\psi(x)\rbrace\iff(x\in X\land\psi(x)))
$ \lbrace x_{\in X}|x\in Y\rbraceを共通部分$ X\cap Yと書く
$ \lbrace x_{\in X}|x\ne x\rbraceは空集合$ \varnothingである 正則性公理 (axiom of regularity。基礎の公理 (FA。axiom of foundation))
$ \forall A(A\neq\varnothing\implies\exist x_{\in A}\forall t_{\in A}(t\notin x)).
Aczel の超集合論
反基礎の公理 (AFA)
1 はじめに
1.2 タイプ理論
2 超集合論 ZFC-/AFA
2.1 特殊終餘代數定理 (Special Final Coalgebra Theorem) 3 おわりに
ラッセルはホワイトヘッドとの共著プリンキピアマテマティカ序論, の中で惡循環について次のやうに述べてゐる. 不當な全體 (illegitimate totality) を排除するための原理は,次のやうに述べられる.「或る集まりのすべての成員を含むものは,何であれ,その集まりの一員であってはならない」.あるいは逆に,「或る集まりが,全體を持つと假定するとその全體によってしか定義できないような要素を含むことになってしまふ場合,その集まりは全體を持たない」.これを「惡循環原理 (Vicious-circle principle)」と呼ばう.その原理によって,不當な全體の假定に含まれる惡循環を囘避することができるからである. (第二章 論理的タイプの理論, ページ 130 からの引用.) この惡循環原理によれば, 全體はその要素となることはできない. たとえば,$ x=\lbrace x\rbraceなる集合の存在は許されない. しかし, 循環を積極的に認める集合論も可能であることは知られていた.近年,無限に持續するプロセスや自己參照的狀況の直接的モデルとして,循環的な集合の意義と有用性が認められ,データベースの更新モデルなど多くの應用が見い出されてゐる. 循環集合を認めない集合論 ZFC が標準になった理由の一つは,集合のメンバシップ關係に基づく歸納的 (inductive) 證明が使えることがその主な理由のひとつであろう.つまり超限歸納法といふ武器が集合の構造の硏究に使へることが大きい.$ x=\lbrace x\rbraceなる集合があると,もはや歸納法は無條件では使へない.言ひ替へると,ZFC 集合論の世界は,確實なものから一段一段と確實に構成していく,いはば文字どおり足が地についた (well-founded) な世界であり,循環構造とは無緣である. 一方,歸納法の雙對である餘歸納的 (co-inductive) 構成は,トップダウン的な確認の論理であり,對象が地に足がついているかどうかには關心がない.すなはち循環構造をも受け入れる論理である.しかしながら,その循環性の論理による統制は,歸納的構成の場合とおなじくらいに堅固である.このことは歸納法と餘歸納法の閒に「雙對性」が成り立つことがその根據である.ブール代數である定理が成り立てば,その雙對の定理も成り立つという良く知られた雙對性定理というメタ定理の類似である.餘歸納法は,「惡循環」ではない,「正しい循環」のために論理といえよう. ラッセルは,惡循環原理は提案したが,「正しい循環の原理」についてはなにも語っていないないようである.ラッセルには無視されたかに見える正しい循環の論理はもっと見直されてもよいのではないかという思いから,Aczel の超集合論の基本的な部分をこの機會に復習したい. 選擇公理 (axiom of choice)
$ \forall X((\varnothing\notin X\land\forall x_{\in X}\forall y_{\in X}(x\neq y\to x\cap y=\varnothing))\implies\exist A\forall x_{\in X}\exist t(x\cap A=\{t\})).
NBG 集合論
公理系
外延性の公理
對の公理。和集合の公理。無限公理。冪集合公理
空集合の公理は???
正則性公理
分出公理圖式
limitation of size
A class$ Ais a set if and only if there is no bijection between$ Aand the class$ Vof all sets.
KIF の集合論
グリシンの集合論
BCK 集合論
連續體公理 (連續體假說)
宇宙 (universe)
構成可能集合 (constructible universe)
集合代數
-1 圈
擴張
多重集合 (multiset)
多重集合と比べて、集合では要素が等しいか否か必ず判別できる 量子集合論 (quantum set theory)
他の數學基礎論
elementary theory of the category of sets (ETCS)