部分加群 - mrsekut-p

部分加群

submodule

部分$ R加群と言ったりもする

定義

$ Rを環、$ Mを$ R加群とする

部分集合$ N\sub Mが$ Mの演算により$ R加群となるとき

$ Nを$ Mの部分加群と言う

$ Nは空でない$ Mの部分集合mrsekut.icon

以下の条件が成り立つことと、$ N\sub Mが部分$ R加群であることは同値

$ Nは、$ Mの加法に関して、$ Mの部分群である

$ a\in A, n\in Nなら$ an\in Nである

作用に関して閉じている

イデアルの定義と同じことを言っていることがわかるmrsekut.icon

$ Rx

$ x\in Mの生成する$ Mの部分加群$ \{ax|a\in R\}のこと

「$ xの生成する$ Mの部分加群」と言う

$ x\in Mを含む最小の部分加群である

$ \lang S\rang

$ S\sub Mのとき

$ Sの有限個の元の一次結合全体の集合

これは$ Mの部分加群である

$ Sにより生成された部分$ R加群と言う

表記

$ \sum_{x\in S} Rxとか

$ S=\{x_1,\cdots,x_n\}なら

$ \lang x_1,\cdots,x_n\rangとか

$ Ax_1+\cdots + Ax_nとか

と表記する

例

$ M自身

$ R自身を左$ R加群と見た時$ R\times R\to Rとなるが、

$ Rのイデアル$ Iに注目すれば$ R\times I\to Iとなって、これは部分加群となっている

$ I\sub Rだからねmrsekut.icon

参考

『代数学 2 環と体とガロア理論』 p.97~99