群準同型
定義
2つの群$ G, G'に対して、写像$ \phi:G\rightarrow G'が任意の$ a,b \in Gに対して以下のような性質を満たす時、$ Gと$ G'は準同型であるという $ \phi(ab)=\phi(a)\phi(b)
上の定義では$ abの表記が積っぽいけど積だとは言っていないmrsekut.icon
$ a\circ bのなんらかの演算に対する定義
だから例えば$ \phi(a+b)=\phi(a)\phi(b)とかもありうる
性質
前提
$ G,G'の元はそれぞれ$ a,a'と表記する
準同型写像$ fによって$ Gの単位元は$ G'の単位元へ移される 定義より$ f(e)f(e)=f(ee)=f(e)=e'
なので$ f(e)=f^{-1}(e) f(e)=e^{\prime}.
両辺に$ f^{-1}をかけた
準同型写像$ fによって$ Gの逆元は$ G'逆元へ移される 定義より$ f(a)f(a^{-1})=f(aa^{-1})=f(e)=e'
$ f\left(a^{-1}\right)=f(a)^{-1}.
$ ^{-1}は「逆元」のことを表しているよ
準同型写像の合成は準同型写像になる
全射、単射、全単射な準同型写像もあれば、全射でも単射でもない準同型写像もある
準同型$ \varphiによる像Im$ \mathrm{Im}(\varphi)は、$ G'の部分群 例
$ \mathbb{R}から2次の一般線形群$ \mathrm{GL}_2(\mathbb{R})への写像$ \phi(u)=\begin{pmatrix}1&u \\ 0&1\end{pmatrix} $ u_1,u_2\in\mathbb{R}について
$ \phi\left(u_{1}\right) \phi\left(u_{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}{1} & {u_{1}} \\ {0} & {1}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{1} & {u_{2}} \\ {0} & {1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{1} & {u_{1}+u_{2}} \\ {0} & {1}\end{array}\right)=\phi\left(u_{1}+u_{2}\right)
なので$ \phiは準同型
n次交代群
参考