様々な随伴の定義

随伴の定義はいくつかの示し方があり、文献によってマチマチなので整理する

定義が様々あるのは有用である

証明したいものに便利なものを選択するのが良い

パターン

書くのが簡単

随伴関手を構成したり、随伴であることを証明する場合に必要な検証項目が少ない

最適化に対する直観にもっとも近い方法

もっとも対称性がわかりやすい

これが随伴という単語を使う理由である

随伴関手であることが分かっている関手に関係する証明を書くのに便利である

直接操作できる公式を持つから

前提

記号は揃えた方がわかりやすいので以下に統一する

https://gyazo.com/eb51a91a296a993d61376ed04fc09dd6

圏$ \mathscr{A},\mathscr{B}

関手$ F:\mathscr{B}\to\mathscr{A}, G:\mathscr{A}\to\mathscr{B}

$ \mathscr{A}に向かっている方が$ Fであることに注意mrsekut.icon

自然変換

余単位$ \varepsilon:FG\to\mathrm{Id}_\mathscr{A}

単位$ \eta:\mathrm{Id}_\mathscr{B}\to GF

随伴$ F\dashv G

$ Fは$ Gの左随伴であり、

$ Gは$ Fの右随伴である

上の定義が全て同じものを表していることの証明

ref 『圏論入門』.icon　p.157~