随伴のhom集合を用いた定義

対称性がわかりやすい

随伴という単語を使う理由になっている

定義

随伴とは以下の組$ (F,G,\phi)のことを言う

関手$ F:\mathscr{B}\to\mathscr{A}

関手 $ G:\mathscr{A}\to\mathscr{B}

自然同型$ \phi: \mathscr{A}(F-,-)\to\mathscr{B}(-,G-)

$ F-は$ F(-)ってことだよmrsekut.icon

https://gyazo.com/8d940800f6d95f21d304484e3ca0294d

このとき、随伴$ F\dashv Gと記述する

$ Fは$ Gの左随伴であり、

$ Gは$ Fの右随伴である

つまり全ての組$ (A,B)に関して、$ \mathscr{A}(FB,A)\cong\mathscr{B}(B,GA)が成り立つ

これ、「随伴とは、$ |A|* |B|個の自然同型のとある組である(雑)」と言えばイメージしやすそうだけど、こういう表現は見たことがないmrsekut.icon

雑すぎて良くない表現なのか、そもそも間違っているのか #??

この自然変換(の組)を$ \varphi_{B,A}と表現してるあたり、それほど外してはなさそう

$ \phiは全単射の族

$ \phiは、$ A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B}によって添字付けられた以下の全単射の族を定める

$ \phi_{B,A}: \mathscr{A}(FB,A)\to\mathscr{B}(B,GA)

具体的に$ \phi_{A_1,B_1}を見てみよう

これは以下の緑の部分の射の対応を与える全単射

https://gyazo.com/c18ac1ce156d65f8687f1ea1d1dc5205

こういう対応が$ A_1,B_1に限らず、全ての対象に対してある

もちろん$ A_1,B_2にもある

それが族

$ \phiはどういう関手圏の同型射か

関手圏$ \mathrm{Set}^{\mathscr{B}^\mathrm{op}\times\mathscr{A}}

なんで #??

https://gyazo.com/be28842b36639f8c60d9c07fd26390cb

任意の$ \mathscr{A}の射$ f:A\to A'と、任意の$ \mathscr{B}の射$ f:B\to B'について、上の右側の四角形が可換になる

これを$ \phiの自然性と言う

参考