随伴の普遍射を用いた定義
書くのが簡単
随伴関手を構成したり、随伴であることを証明する場合に必要な検証項目が少ない
与えられた関手が左または右随伴関手であることだけを確かめたいときに、必要な証明が最小限となるため、しばしば有用である
普遍射を求めることは最適化問題を解くことと似ているため、直観的でもある
定義
関手$ F:\mathscr{B}\to\mathscr{A}が左随伴関手であるとは、
$ \forall A\in\mathscr{A}から$ Fへの普遍射が存在することである 関手$ G:\mathscr{A}\to\mathscr{B}が右随伴関手であるとは、
$ \forall B\in\mathscr{B}から$ Gへの普遍射が存在することである インフォーマルな定義の解釈
$ \mathscr{A}の全ての対象に対して、$ Fへの普遍射が存在するなら、
自動的に随伴$ Gが定義できるということ
wikiの定義について
以下の2つを合わせて読むとわかりやすい
逆に一方だけ読んだら微妙に分かりづらかったmrsekut.icon
$ G_0Xと言っているのは、圏$ Dの中で適当な対象を選んで適当に名付けている
その後、関手$ Gを作るときに、$ GXが、先程名付けた$ GX_0だと定義すると、良い感じに$ Gが関手になることを言っている
随伴中の普遍射の出現をイメージする
https://gyazo.com/3b50604fdcdb857f846098a4d7696715
水平線の上側が$ \mathscr{A}の世界で、下側が$ \mathscr{B}の世界
上図から紫の部分を書き換えた
それ伴って自動的に緑の部分も書き換わった
https://gyazo.com/7b3458fdb018c80bbb90725de4e2e998
$ Aなどは$ \mathscr{A}の任意の対象なのでこういう書き換えができる
このとき、下段の$ \eta_Bが普遍射になっている。どういうことか ここを取り出すとこんなふうになる
$ Bから任意の$ GA_iに向かう射は必ず$ \eta_Bを経由することができる
故に$ \eta_Bは、$ Bから$ Gへの普遍射である
https://gyazo.com/6242f5da2c875a7140df8379aec4275e
これが全ての$ Bで成り立つので、
自然変換$ \eta:\mathrm{Id}_\mathscr{B}\to GFは、関手$ Gに対して普遍的である
たぶん厳密には変なことを書いているmrsekut.icon*2
因果関係がおかしいかもしれない
ちゃんと理解していない
参考
べ試験などにもあるかも