自然性の公理
正式名称ではないと思うmrsekut.icon
英語ではなんと書いてるんだろう
図的自然性の公理
https://gyazo.com/9d9322499806508825fda8fa9ed1275e
この2条件が満たすことを自然性の公理と言っているmrsekut.icon
ベシ圏風に式で書く
わかりにくいけどmrsekut.icon
$ \overline{(FB'\xrightarrow{Fb}FB\xrightarrow{f}A)}=(B'\xrightarrow{b}B\xrightarrow{\bar{f}}GA)
上図の青の対応
$ \overline{(FB\xrightarrow{f}A\xrightarrow{a}A')}=(B\xrightarrow{\overline{f}}GA\xrightarrow{Ga}GA')
上図の緑の対応
状況設定
2つの圏$ \mathscr{A},\mathscr{B}とその間の関手$ F,Gがある
https://gyazo.com/f2c7618268bd614595933f5302a3aef6
$ FBと$ Aの間には複数の射があり、
$ Bと$ GAの間にも複数の射がある
これらの射どうしを結び付ける全単射$ \phi_{B,A}が存在する
名前の通りこれは$ B,Aに何を選ぶかに依存する写像
https://gyazo.com/4fae8bd25c88a07620154202fd4d291f
このとき、$ \phi_{B,A}(f)=\bar{f}となる関係を以下の様に記す
https://gyazo.com/96a479dd9d00af391cdfec3e2f0a641a
要するに$ \phi_{B,A}による射同士の一対一対応のことを転置と呼んでいる
こうやって書くと恣意的に見えるが、もっと冗長に書くと以下のような流れ
$ \mathscr{A}(FB,A)から一つ選んだものを$ fとし、
それを$ \phi_{B,A}に適用すると、$ \mathscr{B}(B,GA)から一つ選ばれた
これを$ hと呼ぶ
この$ hが$ fの転置となるので、わかりやすく表記するために$ \bar{f}:=hとしている
片側の自然性
全単射$ \phi_{B,A}の集まりが、$ Bに関して自然とは
任意の$ \mathscr{B}の射$ b:B'\to Bに対して、
$ \phi_{B',A}の対応が以下のようになっていることをいう
https://gyazo.com/532c10fbff56348709cdaa343538e9ff
つまり、$ \phi_{B',A}(f\circ Fb)=\bar{f}\circ bが成り立つ
図で描くとこう
https://gyazo.com/1a7d60ad47346e53448c1b82cf5c7aa4
最初の図から左側に伸びている
全単射$ \phi_{B,A}の集まりが、$ Aに関して自然とは
上の話の逆版
右側が伸びる
つまり$ \phi_{B,A'}(a\circ f)=Ga\circ\bar{f}が成り立つ
図は同様なので省略
自然性の公理の構築
上の話を同時に書く
https://gyazo.com/3b50604fdcdb857f846098a4d7696715
https://gyazo.com/13d19903458bd107dd39939cd334f61d
$ \phiの対応を式として書きづらいが、上の話と同様の対応が成されている
図中の赤線
$ a\circ f\circ Fbと$ Ga\circ\bar{f}\circ bが一対一対応してる
自然性の公理の構築を更に2種類の広がりで見てみる
無限に横に伸ばす
https://gyazo.com/ea2b214ecd79ddd2c9a005ad7c5685e3
どこまで横に伸ばしてもこの関係性は成立する
換言すると以下の3つの射の配列から
$ B^n\to\cdots\to B''\to B'\to B
$ B\to GA
$ A\to A'\to A''\to\cdots\to A^m
$ B^n\to GA^mという一つの射を構成する
縦に散らして任意性を直感する
$ A_1や$ B_1はその圏の中の任意の対象なので、その点をわかりやすく書くと下図のようになる
https://gyazo.com/b9e4efed50f3ac293fedc24d66fc1e4d
こう書いても水平線の上下は、各経路で対応している
わかりやすく青線を引いたがそれ以外のものも同様
参考
表記がわかりにくい
圏論入門の表記のほうがわかりやすい