単位
unit
随伴$ F\dashv Uから定まる自然変換$ \eta: \mathrm{Id}_\mathscr{B}\to UFのこと https://gyazo.com/f398ccca3eb94e8cc12c0ed3b52d475a
単位$ \etaが自然変換であることの証明
前提となる状況
https://gyazo.com/1abf113950a38ee7dc305eb1f8a401d7
$ Aは$ \mathscr{A}の任意の対象なので、ここに$ FBを当てはめる
https://gyazo.com/e821999e79373f0fa83149de2cac9017
$ Bを代表っぽく$ B_1と書いてみる
https://gyazo.com/1811a8dd829d29f09211a975ea0fb2e9
$ B_2と書いたものと重ね合わせる
https://gyazo.com/91ca612e48e4d0dffe845ae20827acbc
この図の右側の正方形が可換になることを示すことで、$ \etaが自然変換であるということが示される
つまり下図が可換になる
https://gyazo.com/8f205ae0b6a69489047592aa8a36cf73
緑線、青線を別々に関手の写し先との一対一対応を見る
https://gyazo.com/889ac44e4d3fc5864b1bf946da80f929
https://gyazo.com/e099ee033e336c11ae92b52787f00858
先程の図で見ればここが対応している
https://gyazo.com/4a3083bd1488d90832ddda104587f4f8
また、この2つの赤線は共に$ Ff:FB_1\to FB_2に等しい射を示している
よって青線と緑線も一対一に対応する
よって先程の四角形は可換になるので、$ \etaは自然変換である
参考