随伴の三角等式を用いた定義

三角等式を用いた随伴の定義

定義

圏$ \mathscr{A},\mathscr{B}間の関手$ F:\mathscr{B}\to\mathscr{A}、$ G:\mathscr{A}\to\mathscr{B}について、

自然変換$ \varepsilon:FG\to\mathrm{Id}_\mathscr{A} 、$ \eta: \mathrm{Id}_\mathscr{B}\to GF が存在して、

これらが三角等式を満たすとき、

つまり、下図を可換にするとき、四つ組$ (F,G,\epsilon,\eta)のことを随伴関係という

https://gyazo.com/b4648306bae7a61b64c53c98f8e9ffc3

図の導出のイメージ

ここから

https://gyazo.com/13fd6ebbc204e37c831866d270a5b314

ここまで動かして、上下を結んで三角形にしている感じ

https://gyazo.com/04fd5d90548e32ca1a5682546c4b0a1e]

これで左の三角形はできた

三角等式の可換性の証明

左側の三角形の可換性を示す

https://gyazo.com/14dc551ee8e496271f5dbe145e8edd5c

↑の図はポイントフリーになっているの微妙に分かりづらい

対象を設定してあげる

https://gyazo.com/622e92919180361ee8647041e5cf9eb4

個人的には$ B_1と書いて代表感を出したほうがパッと理解できる

https://gyazo.com/396c416e1b98934d116830f4cb316f2b

示したいのは以下の対応

$ FB\xrightarrow{(F\eta)_B}FGFB\xrightarrow{(\varepsilon F)_B}FB

$ FB\xrightarrow{\mathrm{id}_{FB}}FB

以下の転置関係を用いる

https://gyazo.com/0c76c19d2c8259aae2f369e26f0bdd05

https://gyazo.com/5b7816b2edf82abc4eccb229b0cbb156

一つの図にすると

https://gyazo.com/b768458aab2a35371f22f7de640ab594

赤線同士は等しいので、青=緑になる

参考