極限の延長としての引き戻し
参考
https://gyazo.com/1b9ec6b0daada7fd265ff34abb3093e6
圏$ \mathscr{A}への図式を考え、さらに錐を考える 錐や極限を完全に理解できている前提mrsekut.icon
関手$ Fの対応を色で示した
https://gyazo.com/24a0e3dcc16af1d2c7af04ea8a2e1df3
錐を考える
下図の$ (X, \{x_0,x_1,x_2\})が錐であってほしい
https://gyazo.com/744158035eda76f3d6ef133bc7f58ab4
錐の射の条件として、上の2つの三角形が可換になることが求められる 式で書くなら以下の2式が両方成立してほしい
$ x_0=a_1\circ x_1
$ x_0=a_2\circ x_2
この2式から$ x_0を消去すると$ a_1\circ x_1=a_2\circ x_2
この式を考えることで、中央の射が消えた図を考えても同等だということがわかる
逆に、この式から元の式も復元可能
https://gyazo.com/db9ec079009a68920f9066052db0a634
この式変形が前提でいつもよく見る引き戻しの四角形ができている ここ説明されないので難しく感じるポイントだよなmrsekut.icon
話を戻して、錐は$ X以外にも条件を満たせば複数ありうる
当たり前だが、下図は全部圏$ \mathscr{A}内の話mrsekut.icon
例えば、$ X,Y,Zも書き足してみた
https://gyazo.com/07b0de530fcdc8fb7aeedff2ad11e360
$ X,Y,Zそれぞれで錐の条件が成り立っているものとする
さらに同列に$ Lも書き足してみる
https://gyazo.com/89b35acc1de1021c812459412d7a0ab6
図2
$ Lと$ X,Y,Zの異なる点は、$ Lへの射があること
つまり、$ Lは錐の圏を考えた際に終対象になる(後述)
この図から、本質的に同じことを言っている$ Y,Zを消去すると、よく見る引き戻しの図になる
https://gyazo.com/67447ee5e3ffd05d155eed8313b6fc5e
複数の錐を考えることで、錐の圏Cone$ (\mathscr{A},F)が考えられる 図2を参考に錐の圏を書いてみる
https://gyazo.com/11f92abf56b8ee475f72a07f399e71f7
錐の圏の終対象が極限なので、今回はこの$ Lが極限になる
$ L=\lim_\leftarrow Fと表記する
圏$ \mathscr{A}に戻すと、下図のように
任意の錐となる対象$ Xから、終対象としての錐$ L
への射$ fが一意に定まる
https://gyazo.com/ed640e2c5850121668745c55383bcd05
形を合わせて書くと下図のようになる
https://gyazo.com/b2716d1c4e06642bdce2381b50ef0a96
なので$ Lのことを、直積っぽくかいて$ A_1\times A_2と表記することもある
特に$ \timesは$ A_0により定まるので
$ L=A_1\times_{A_0}A_2と表記する
こういう図の上部の三角形を
https://gyazo.com/ed640e2c5850121668745c55383bcd05
正方形に書くことで、いつもの引き戻しの図になっているだけmrsekut.icon
https://gyazo.com/123eb53c4b35247e433bf5cae25cffdf