完全列の定理
証明の際に参照されるので、できるだけ見出し部分は修正しないようにしないとmrsekut.icon
図式$ 0\xrightarrow{f}M\xrightarrow{g}0が完全列であることと、$ M=0は同値
図式$ 0\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g}Nが完全列であることと、$ gが単射であることは同値 証明
準同型写像$ fの像は$ 0なので、
$ 0\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g}Nが完全列$ \iff$ \mathrm{Ker}(g)=0$ \iff$ gは単射
補足
図式$ M\xrightarrow{f}N\xrightarrow{g} 0が完全であることと、$ fが全射であることは同値 証明
準同型写像$ gの像は$ 0なので、$ \mathrm{Ker}(g)=N
故に、$ 0\xrightarrow{f} M\xrightarrow{g}Nが完全列$ \iff$ \mathrm{Im}(f)=\mathrm{Ker}(g)=N$ \iff$ fは全射
図式$ 0\to M\xrightarrow{f}N\to 0が完全列であることと、$ fが同型写像であることは同値
図式$ 0\to M_1\xrightarrow{f_1}M_2\xrightarrow{f_2}M_3\to 0が完全列であることと、$ M_3\cong M_2/{\mathrm{Im}(f_1)}であることは同値
証明
$ f_2で準同型定理を用いると、$ M_2/\mathrm{Ker}(f_2)\cong M_3 故に
「完全列である」$ \iff$ \mathrm{Ker}(f_2)=\mathrm{Im}(f_1)
$ \iff M_3\cong M_2/\mathrm{Ker}(f_2)\cong M_2/\mathrm{Im}(f_1)
『層とホモロジー代数』.icon p.19 (2)
任意の左R加群の準同型写像$ f:M\to Nに対して、以下の3つは完全列である (1) $ 0\to \mathrm{Ker}(f)\xrightarrow{i}M\xrightarrow{f}\mathrm{Im}(f)\to0
(2)$ 0\to \mathrm{Im}(f)\xrightarrow{i}N\xrightarrow{p}\mathrm{Coker}(f)\to0
(3)$ 0\to \mathrm{Ker}(f)\xrightarrow{i}M\xrightarrow{f}N\xrightarrow{p}\mathrm{Coker}(f)\to0
証明
(1)
これがわからんmrsekut.icon
『層とホモロジー代数』.icon p.19に書いているが簡素すぎてわからん
特に「$ iの単射性より〜」
『層とホモロジー代数』.icon p.19 (4)
参考