完全列 - mrsekut-p

完全列

exact sequence

とある図式 (圏論)の状態というかなんというか

完全の定義

左R加群の図式$ M_1\xrightarrow{f}M_2\xrightarrow{g}M_3が完全であるとは、

$ \mathrm{Ker}(g)= \mathrm{Im}(f)であることを言う

特にこの場合、$ M_2が完全である、と言う

https://gyazo.com/67dae8f2b2f576c9b81347cbb280d473

$ \mathrm{Ker}(g)は加群の核Ker

これは、以下と同値である

$ \mathrm{Ker}(g)\sube\mathrm{Im}(f)かつ、$ g\circ f=0

用語を分ける必要はあまりなく、これを完全列と呼んでもいいmrsekut.icon

完全列の定義

$ \cdots\to M_{n-1}\xrightarrow{f_{n-1}}M_n\xrightarrow{f_n}M_{n+1}\to\cdotsが完全列であるとは

図式上の全ての$ M_kが完全である時、完全列であると言う

つまり、任意の$ M_{i-1}\xrightarrow{f_{i-1}}M_{i}\xrightarrow{f_i}M_{i+1}が完全

定理、補題

参考