蛇の補題
snake lemma
補題
https://gyazo.com/3aba583fe6cd361d7574151579f4012a
このとき、以下の完全列が存在する
$ \mathrm{Ker}(h_1)\xrightarrow{\bar{f_1}}\mathrm{Ker}(h_2)\xrightarrow{\bar{f_2}}\mathrm{Ker}(h_1)\xrightarrow{\delta}\mathrm{Coker}(h_1)\xrightarrow{\bar{g_1}}\mathrm{Coker}(h_2)\xrightarrow{\bar{g_2}}\mathrm{Coker}(h_3)
どの辺が「蛇」なのか
https://gyazo.com/3b574de35aeb73e98a0e51fa7f96fa42
証明の概要
⓪
① 列$ \mathrm{Ker}(h_1),\mathrm{Ker}(h_2),\mathrm{Ker}(h_3) の完全性
② 列$ \mathrm{Coker}(h_1),\mathrm{Coker}(h_2),\mathrm{Coker}(h_3)の完全性
③ 写像$ \delta: \mathrm{Ker}(h_3)\to \mathrm{Coker}(h_1)の定義
④ 列$ \mathrm{Ker}(h_2),\mathrm{Ker}(h_3),\mathrm{Coker}(h_1)の完全性
⑤ 列$ \mathrm{Coker}(h_3),\mathrm{Coker}(h_1),\mathrm{Coker}(h_2)の完全性
図にするとこんな感じ
https://gyazo.com/91c54a85337e2c11f2d97e492914dbc7
「完全列である」を示すということは
im = ker
im $ \sube ker、かつ、ker $ \sube im
$ \mathrm{Ker}(g)\sube \mathrm{Im}(f)かつ$ g\circ f=0
のいずれかを示せばいい
証明
参考